Aritmetikai műveletek hatványokkal, hogyan kell megoldani. Fokozat - tulajdonságok, szabályok, műveletek és képletek

Tekintsük a kifejezések hatványokkal történő átalakításának témáját, de először foglalkozunk számos olyan transzformációval, amelyek bármilyen kifejezéssel végrehajthatók, beleértve a hatványos kifejezéseket is. Megtanuljuk, hogyan kell zárójeleket nyitni, hasonló kifejezéseket adni, dolgozni az alappal és kitevővel, használni a fokok tulajdonságait.

Mik azok az erőkifejezések?

Az iskolai tanfolyamon kevesen használják a "hatalmi kifejezések" kifejezést, de ez a kifejezés folyamatosan megtalálható a vizsgára való felkészülést szolgáló gyűjteményekben. A legtöbb esetben a kifejezés olyan kifejezéseket jelöl, amelyek bejegyzéseikben fokozatok vannak. Ezt fogjuk tükrözni definíciónkban.

1. definíció

Erő kifejezés fokokat tartalmazó kifejezés.

Számos példát adunk a hatványkifejezésekre, kezdve a természetes kitevővel rendelkező foktól és a valós kitevővel rendelkező foktól kezdve.

A legegyszerűbb hatványkifejezések egy természetes kitevővel rendelkező szám hatványainak tekinthetők: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Valamint a nulla kitevőjű hatványok: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. És a negatív egész hatványokkal rendelkező hatványok: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Kicsit nehezebb olyan fokozattal dolgozni, amelynek racionális és irracionális kitevői vannak: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

A mutató lehet 3 x - 54 - 7 3 x - 58 változó vagy logaritmus x 2 l g x − 5 x l g x.

Foglalkoztunk azzal a kérdéssel, hogy mik a hatalom kifejezései. Most pedig vessünk egy pillantást az átalakulásukra.

A hatványkifejezések transzformációinak főbb típusai

Mindenekelőtt a kifejezések hatványkifejezésekkel végrehajtható alapvető identitástranszformációit tekintjük át.

1. példa

Számítsa ki a teljesítménykifejezés értékét 2 3 (4 2 - 12).

Megoldás

Minden átalakítást a cselekvési sorrendnek megfelelően fogunk végrehajtani. Ebben az esetben a zárójelben lévő műveletek végrehajtásával kezdjük: a fokozatot digitális értékre cseréljük, és kiszámoljuk a két szám különbségét. Nekünk van 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Nekünk marad a diploma pótlása 2 3 a jelentése 8 és kiszámítja a szorzatot 8 4 = 32. Íme a válaszunk.

Válasz: 2 3 (4 2 - 12) = 32 .

2. példa

Egyszerűsítse a kifejezést képességekkel 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Megoldás

A probléma feltételében nekünk adott kifejezés hasonló kifejezéseket tartalmaz, amelyeket hozhatunk: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Válasz: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

3. példa

Fejezzen ki egy kifejezést 9 - b 3 · π - 1 2 hatványokkal szorzatként.

Megoldás

Képviseljük a 9-es számot hatványként 3 2 és alkalmazzuk a rövidített szorzási képletet:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Válasz: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

És most térjünk át az azonos transzformációk elemzésére, amelyek kifejezetten a hatványkifejezésekre alkalmazhatók.

Munka bázissal és kitevővel

Az alap vagy kitevő foka számokat, változókat és néhány kifejezést tartalmazhat. Például, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7és . Nehéz ilyen lemezekkel dolgozni. Sokkal egyszerűbb lecserélni a fok alapjában vagy a kitevőben lévő kifejezést egy azonos kifejezéssel.

A fokozat és a mutató átalakítása az általunk ismert szabályok szerint, egymástól elkülönítve történik. A legfontosabb, hogy az átalakítások eredményeként az eredetivel azonos kifejezést kapjunk.

Az átalakítások célja az eredeti kifejezés egyszerűsítése vagy a probléma megoldása. Például a fent megadott példában (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 műveleteket hajthat végre a fokozat eléréséhez 4 , 1 1 , 3 . A zárójeleket kinyitva hasonló kifejezéseket hozhatunk a diploma alapjába (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)és kap egy egyszerűbb formájú erőkifejezést a 2 (x + 1).

A teljesítménytulajdonságok használata

A fokozatok egyenlőségként felírt tulajdonságai az egyik fő eszköze a fokozatos kifejezések átalakításának. Ennek figyelembevételével itt bemutatjuk a főbbeket aés b pozitív számok, és rés s- tetszőleges valós számok:

2. definíció

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Azokban az esetekben, amikor természetes, egész, pozitív kitevőkkel van dolgunk, az a és b számokra vonatkozó korlátozások sokkal kevésbé szigorúak lehetnek. Tehát például ha az egyenlőséget vesszük figyelembe a m a n = a m + n, ahol més n természetes számok, akkor ez igaz lesz az a bármely értékére, legyen az pozitív és negatív, valamint a a = 0.

A fokok tulajdonságait korlátozás nélkül alkalmazhatja olyan esetekben, amikor a fokok alapjai pozitívak, vagy olyan változókat tartalmaznak, amelyek elfogadható értéktartománya olyan, hogy az alapok csak pozitív értékeket vesznek fel. Valójában a matematika iskolai tananyagának keretein belül a tanuló feladata a megfelelő tulajdonság kiválasztása és helyes alkalmazása.

Az egyetemi felvételi előkészítés során előfordulhatnak olyan feladatok, amelyekben a tulajdonságok pontatlan alkalmazása az ODZ szűküléséhez és a megoldás egyéb nehézségeihez vezet. Ebben a részben csak két ilyen esettel foglalkozunk. A témával kapcsolatos további információk a "Kifejezések átalakítása kitevő tulajdonságaival" témakörben találhatók.

4. példa

Képviselje a kifejezést a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5 mint diploma alappal a.

Megoldás

Először a hatványozási tulajdonságot használjuk, és ennek segítségével transzformáljuk a második tényezőt (a 2) – 3. Ezután a szorzás és a hatványosztás tulajdonságait ugyanazzal az alappal használjuk:

a 2 , 5 a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5 ) = a 2.

Válasz: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2 .

A hatványkifejezések átalakítása a fokok tulajdonsága szerint történhet balról jobbra és ellenkező irányban is.

5. példa

Határozza meg a 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 hatványkifejezés értékét!

Megoldás

Ha alkalmazzuk az egyenlőséget (a b) r = a r b r, jobbról balra, akkor 3 7 1 3 21 2 3, majd 21 1 3 21 2 3 alakú szorzatot kapunk. Adjuk hozzá a kitevőket, amikor a hatványokat ugyanazokkal az alapokkal szorozzuk: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Van egy másik módja az átalakításnak:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Válasz: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

6. példa

Adott egy hatalmi kifejezés a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6, írjon be egy új változót t = a 0, 5.

Megoldás

Képzeld el a fokozatot egy 1, 5 hogyan a 0, 5 3. A fokozat tulajdonság használata egy fokban (a r) s = a r s jobbról balra, és kap (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0, 5 - 6 . Az eredményül kapott kifejezésben könnyen bevezethet egy új változót t = a 0, 5: kap t 3 − t − 6.

Válasz: t 3 − t − 6 .

Hatványokat tartalmazó törtek konvertálása

A tört hatványkifejezések két változatával szoktunk foglalkozni: a kifejezés egy fokos tört, vagy ilyen törtet tartalmaz. Az összes alapvető tört transzformáció korlátozás nélkül alkalmazható az ilyen kifejezésekre. Csökkenthetők, új nevezőre hozhatók, külön dolgozhatnak a számlálóval és a nevezővel. Illusztráljuk ezt példákkal.

7. példa

A 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 hatványkifejezés egyszerűsítése.

Megoldás

Törttel van dolgunk, ezért a számlálóban és a nevezőben is transzformációkat hajtunk végre:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Tegyen mínuszt a tört elé a nevező előjelének megváltoztatásához: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Válasz: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

A hatványokat tartalmazó törtek ugyanúgy új nevezőre redukálódnak, mint racionális törtek. Ehhez meg kell találni egy további tényezőt, és meg kell szorozni vele a tört számlálóját és nevezőjét. Egy további tényezőt úgy kell kiválasztani, hogy az ne tűnjön el az eredeti kifejezés ODZ-változói közül egyetlen változó értékénél sem.

8. példa

Hozd a törteket új nevezőre: a) a + 1 a 0, 7 a nevezőbe a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 az x + 8 y 1 2 nevezőhöz.

Megoldás

a) Olyan tényezőt választunk, amely lehetővé teszi, hogy új nevezőre redukáljunk. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , ezért további tényezőként vesszük a 0, 3. Az a változó megengedett értékeinek tartománya tartalmazza az összes pozitív valós szám halmazát. Ezen a területen a fok a 0, 3 nem megy nullára.

Szorozzuk meg egy tört számlálóját és nevezőjét ezzel a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Ügyeljen a nevezőre:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Ezt a kifejezést megszorozzuk x 1 3 + 2 · y 1 6 -al, megkapjuk az x 1 3 és a 2 · y 1 6 kockák összegét, azaz. x + 8 · y 1 2 . Ez az új nevezőnk, amelyhez az eredeti törtet kell hoznunk.

Így találtunk egy további tényezőt x 1 3 + 2 · y 1 6 . A változók elfogadható értékeinek tartományán xés y az x 1 3 + 2 y 1 6 kifejezés nem tűnik el, így a tört számlálóját és nevezőjét megszorozhatjuk vele:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 év 1 6 + 4 év 1 3 = = x 1 3 + 2 év 1 6 x 1 3 + 2 év 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 év 1 6 + 4 év 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Válasz: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

9. példa

Csökkentse a törtet: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Megoldás

a) Használja a legnagyobb közös nevezőt (GCD), amellyel a számláló és a nevező csökkenthető. A 30 és 45 számoknál ez a 15. Csökkenthetjük is x 0, 5 + 1és x + 2 x 1 1 3 - 5 3 -on.

Kapunk:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Itt az azonos tényezők jelenléte nem nyilvánvaló. Néhány átalakítást végre kell hajtania, hogy ugyanazokat a tényezőket kapja a számlálóban és a nevezőben. Ehhez kibővítjük a nevezőt a négyzetek különbségi képletével:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Válasz: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

A törtekkel végzett fő műveletek közé tartozik az új nevezőre való redukálás és a törtek csökkentése. Mindkét műveletet számos szabály betartásával hajtják végre. Törtek összeadásánál és kivonásánál a törtek először közös nevezőre redukálódnak, majd a műveleteket (összeadás vagy kivonás) hajtjuk végre a számlálókkal. A nevező ugyanaz marad. Műveleteink eredménye egy új tört, melynek számlálója a számlálók szorzata, nevezője pedig a nevezők szorzata.

10. példa

Hajtsa végre a következő lépéseket: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Megoldás

Kezdjük azzal, hogy kivonjuk a zárójelben lévő törteket. Hozzuk őket közös nevezőre:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Vonjuk ki a számlálókat:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Most megszorozzuk a törteket:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Csökkentsük egy fokkal x 1 2, 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1-et kapunk.

Ezenkívül leegyszerűsítheti a nevezőben a hatványkifejezést a négyzetek különbségének képletével: négyzetek: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Válasz: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

11. példa

Egyszerűsítse az x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 hatványkifejezést .
Megoldás

Ezzel csökkenthetjük a törtet (x 2, 7 + 1) 2. Kapunk egy tört x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Folytassuk az x hatványok transzformációit x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Most már használhatja a teljesítményosztási tulajdonságot ugyanazokkal az alapokkal: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Az utolsó szorzatról áttérünk az x 1 3 8 x 2, 7 + 1 törtre.

Válasz: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

A legtöbb esetben kényelmesebb a negatív kitevővel rendelkező szorzók átvitele a számlálóból a nevezőbe és fordítva a kitevő előjelének megváltoztatásával. Ez a művelet leegyszerűsíti a további döntést. Mondjunk egy példát: az (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 hatványkifejezés helyettesíthető x 3 · (x + 1) 0 , 2 -vel.

Kifejezések konvertálása gyökökkel és hatványokkal

A feladatokban vannak hatványkifejezések, amelyek nem csak fokokat tartalmaznak törtkitevővel, hanem gyököket is. Kívánatos, hogy az ilyen kifejezéseket csak gyökerekre vagy csak hatványokra redukáljuk. A fokozatokra való átállás előnyösebb, mivel könnyebb velük dolgozni. Az ilyen átmenet különösen előnyös, ha az eredeti kifejezés változóinak DPV-je lehetővé teszi a gyökök hatványokkal való helyettesítését anélkül, hogy hozzá kellene férnie a modulushoz vagy fel kellene osztania a DPV-t több intervallumra.

12. példa

Fejezze ki az x 1 9 x x 3 6 kifejezést hatványként.

Megoldás

Egy változó érvényes tartománya x két egyenlőtlenség határozza meg x ≥ 0és x · x 3 ≥ 0 , amelyek meghatározzák a halmazt [ 0 , + ∞) .

Ezen a halmazon jogunk van a gyökerektől a hatalmak felé haladni:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

A fokok tulajdonságait felhasználva leegyszerűsítjük a kapott hatványkifejezést.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Válasz: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Hatványok átalakítása változókkal a kitevőben

Ezeket a transzformációkat meglehetősen egyszerű elvégezni, ha helyesen használja a fokozat tulajdonságait. Például, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Helyettesíthetjük annak a foknak a szorzatát, amely szerint valamilyen változó és egy szám összege található. A bal oldalon ezt a kifejezés bal oldalán lévő első és utolsó kifejezéssel lehet megtenni:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0.

Most osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 7 2 x. Ez a kifejezés az x változó ODZ-jén csak pozitív értékeket vesz fel:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Csökkentsük a törteket hatványokkal, így kapjuk: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0.

Végül az azonos kitevőjű hatványok arányát az arányok hatványaira cseréljük, ami az 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 egyenlethez vezet, ami ekvivalens: 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.

Bevezetünk egy új t = 5 7 x változót, amely az eredeti exponenciális egyenlet megoldását a megoldásra redukálja másodfokú egyenlet 5 t 2 − 3 t − 2 = 0 .

Kifejezések konvertálása hatványokkal és logaritmusokkal

Hatványokat és logaritmusokat tartalmazó kifejezések is megtalálhatók a feladatokban. Példák az ilyen kifejezésekre: 1 4 1 - 5 log 2 3 vagy log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Az ilyen kifejezések transzformációja a fent tárgyalt megközelítésekkel és a logaritmusok tulajdonságaival történik, amelyeket a „Logaritmikus kifejezések transzformációja” témakörben részletesen elemeztünk.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Az előző cikkben beszéltünk arról, hogy mik is azok a monomok. Ebben az anyagban elemezzük, hogyan lehet megoldani azokat a példákat és problémákat, amelyekben ezeket használják. Itt olyan műveleteket fogunk megvizsgálni, mint a kivonás, az összeadás, a szorzás, a monomiálisok osztása és természetes kitevőjű hatványra emelése. Megmutatjuk, hogyan definiálják az ilyen műveleteket, megadjuk a végrehajtásuk alapvető szabályait, és mi legyen az eredmény. Minden elméleti rendelkezést, mint általában, a megoldások leírásával ellátott problémák példái mutatnak be.

A legkényelmesebb a monomok szabványos jelölésével dolgozni, ezért a cikkben használt összes kifejezést szabványos formában mutatjuk be. Ha kezdetben eltérően vannak beállítva, akkor ajánlott először általánosan elfogadott formába hozni őket.

A monomiumok összeadásának és kivonásának szabályai

A monomokkal végrehajtható legegyszerűbb műveletek a kivonás és az összeadás. Általános esetben ezeknek a műveleteknek az eredménye egy polinom (egyes speciális esetekben monomiális is lehetséges).

A monomok összeadásakor vagy kivonásakor először a megfelelő összeget és különbséget írjuk fel az általánosan elfogadott formában, majd egyszerűsítjük a kapott kifejezést. Ha vannak hasonló kifejezések, azokat meg kell adni, a zárójeleket ki kell nyitni. Magyarázzuk meg egy példával.

1. példa

Állapot: add össze a − 3 · x és 2 , 72 · x 3 · y 5 · z monomokat.

Megoldás

Írjuk fel az eredeti kifejezések összegét! Adjon hozzá zárójeleket, és tegyen közéjük egy pluszjelet. A következőket kapjuk:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Ha a zárójeleket kibontjuk, - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Ez egy szabványos formában írt polinom, amely ezeknek a monomoknak az összeadásának eredménye lesz.

Válasz:(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z.

Ha három, négy vagy több kifejezést adunk meg, akkor ezt a műveletet ugyanúgy hajtjuk végre.

2. példa

Állapot: hajtsa végre a megadott műveleteket polinomokkal a megfelelő sorrendben

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Megoldás

Kezdjük a zárójelek megnyitásával.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Látjuk, hogy az eredményül kapott kifejezés leegyszerűsíthető a hasonló kifejezések redukálásával:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Van egy polinomunk, amely ennek a műveletnek az eredménye.

Válasz: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Elvileg két monom összeadását és kivonását is elvégezhetjük bizonyos megszorításokkal úgy, hogy végül egy monomhoz jutunk. Ehhez bizonyos feltételeket be kell tartani a kifejezésekkel és a kivont monomokkal kapcsolatban. Ennek módját egy külön cikkben írjuk le.

A monomiumok szorzásának szabályai

A szorzási művelet nem ír elő korlátozásokat a szorzókra. A szorzandó monomoknak nem kell további feltételnek megfelelniük ahhoz, hogy az eredmény monomiális legyen.

A monomok szorzásához a következő lépéseket kell végrehajtania:

1. Rögzítse helyesen a darabot.
2. Bontsa ki a zárójeleket az eredményül kapott kifejezésben.
3. Lehetőség szerint csoportosítsa az azonos változókkal és számszerű tényezőkkel rendelkező tényezőket külön-külön.
4. Végezze el a szükséges műveleteket számokkal, és alkalmazza a hatványok szorzóképességét azonos alapokon a fennmaradó tényezőkre.

Lássuk, hogyan valósul meg ez a gyakorlatban.

3. példa

Állapot: szorozzuk meg a 2 · x 4 · y · z és -7 16 · t 2 · x 2 · z 11 monomokat.

Megoldás

Kezdjük a mű összeállításával.

A benne lévő zárójeleket kinyitva a következőket kapjuk:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2-7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Csak annyit kell tennünk, hogy megszorozzuk az első zárójelben lévő számokat, és alkalmazzuk a hatvány tulajdonságot a másodikra. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

2-7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Válasz: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Ha három vagy több polinom van a feltételben, akkor pontosan ugyanazzal az algoritmussal szorozzuk meg őket. A monomok szorzásának kérdését egy külön anyagban fogjuk részletesebben megvizsgálni.

A monom hatványra emelésének szabályai

Tudjuk, hogy bizonyos számú azonos tényező szorzatát természetes kitevővel rendelkező foknak nevezzük. Számukat az indexben szereplő szám jelzi. E meghatározás szerint egy monom hatványra emelése egyenértékű az azonos monomok jelzett számának szorzásával. Lássuk, hogyan készült.

4. példa

Állapot: emeljük a − 2 · a · b 4 monomiált 3 hatványára.

Megoldás

A hatványozást helyettesíthetjük 3 monom − 2 · a · b 4 szorzásával. Írjuk le és kapjuk meg a kívánt választ:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

Válasz:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

De mi van akkor, ha a foknak nagy kitevője van? Írd le nagyszámú a szorzók kényelmetlenek. Ekkor egy ilyen probléma megoldásához alkalmaznunk kell a fok tulajdonságait, nevezetesen a szorzat fokának tulajdonságát és a fokban lévő fok tulajdonságát.

Oldjuk meg a fentebb idézett problémát a jelzett módon.

5. példa

Állapot: emeljük a − 2 · a · b 4-et a harmadik hatványra.

Megoldás

Ismerve a fokozat tulajdonságát a fokban, a következő formájú kifejezésre léphetünk:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Ezt követően emeljük a - 2 hatványra, és alkalmazzuk a kitevő tulajdonságot:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

Válasz:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Külön cikket is szenteltünk a monomiális hatalommá emelésének.

A monomok felosztásának szabályai

Az utolsó művelet a monomokkal, amelyet ebben az anyagban elemezni fogunk, a monomiális felosztása egy monomimmal. Ennek eredményeként racionális (algebrai) törtet kell kapnunk (bizonyos esetekben monomiális is lehet). Azonnal tisztázzuk, hogy a nulla monomimmal való osztás nincs definiálva, mivel a 0-val való osztás nincs definiálva.

Az osztás végrehajtásához a jelzett monomokat tört alakban kell felírnunk, és lehetőség szerint csökkenteni kell.

6. példa

Állapot: osszuk el a − 9 x 4 y 3 z 7 monomiálist − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 -vel.

Megoldás

Kezdjük azzal, hogy a monomokat tört alakban írjuk.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Ez a rész csökkenthető. Ezt követően a következőket kapjuk:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Válasz:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Egy külön cikkben adjuk meg, hogy a monomiumok felosztásának eredményeként milyen feltételekkel kapunk monomit.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Az utolsó oktatóvideóban megtudtuk, hogy az alap foka egy olyan kifejezés, amely az alap és önmagának a szorzata, a kitevővel megegyező mennyiségben. Most fedezzünk fel néhányat legfontosabb tulajdonságaités a hatásköri műveletek.

Például szorozzunk meg két különböző hatványt ugyanazzal az alappal:

Nézzük meg ezt a darabot teljes egészében:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Ennek a kifejezésnek az értékét kiszámítva a 32-es számot kapjuk. Másrészt, amint az ugyanabból a példából látható, a 32 ábrázolható ugyanannak a bázisnak (kettőnek) szorzataként, ötször felvéve. És valóban, ha számolunk, akkor:

Így nyugodtan levonható a következtetés, hogy:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Ez a szabály sikeresen működik minden indikátorra és bármilyen alapra. A fokozat szorzásának ez a tulajdonsága a kifejezések jelentésének megőrzésének szabályából következik a szorzatban történő átalakítások során. Bármely a bázisra két (a) x és (a) y kifejezés szorzata egyenlő a (x + y). Más szóval, ha bármilyen azonos bázisú kifejezést állítunk elő, a végső monom teljes foka az első és a második kifejezés fokszámának összeadásával keletkezik.

A bemutatott szabály több kifejezés szorzásakor is remekül működik. A fő feltétel az, hogy az alapok mindegyike azonos legyen. Például:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

A kifejezés két elemével nem lehet fokozatokat összeadni, sőt hatalmi együttes akciókat végrehajtani, ha azok alapjai eltérőek.
Ahogy videónk is mutatja, a szorzási és osztási folyamatok hasonlósága miatt a szorzat során a hatványösszeadás szabályai tökéletesen átkerülnek az osztási eljárásba. Tekintsük ezt a példát:

Végezzük el a kifejezést tagonként transzformáljuk teljes formává, és csökkentsük ugyanazokat az elemeket az osztóban és az osztóban:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Ennek a példának a végeredménye nem annyira érdekes, mert már a megoldása során kiderül, hogy a kifejezés értéke egyenlő a kettő négyzetével. És ez a kettes, amelyet úgy kapunk, hogy kivonjuk a második kifejezés mértékét az első mértékéből.

A hányados mértékének meghatározásához ki kell vonni az osztó mértékét az osztalék mértékéből. A szabály ugyanazon az alapon működik minden értékére és minden természeti erejére. Absztrakt formában a következőkkel rendelkezünk:

(a) x / (a) y = (a) x - y

A nulla fok definíciója az azonos bázisok hatványokkal való osztásának szabályából következik. Nyilvánvaló, hogy a következő kifejezés:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Másrészt, ha vizuálisabb módon osztjuk el, a következőket kapjuk:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Egy tört összes látható elemének redukálásakor mindig az 1/1 kifejezést kapjuk, azaz egyet. Ezért általánosan elfogadott, hogy bármely nulla hatványra emelt bázis egyenlő eggyel:

Függetlenül attól, hogy a.

Abszurd lenne azonban, ha a 0 (ami még mindig 0-t ad minden szorzásnál) valahogy egyenlő lenne eggyel, így az olyan kifejezéseknek, mint a (0) 0 (nulla a nulla fokig) egyszerűen nincs értelme, és az (a) képlet 0 = 1 adjunk hozzá egy feltételt: "ha a nem egyenlő 0-val".

Végezzük el a gyakorlatot. Keressük meg a kifejezés értékét:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Mivel a bázis mindenhol ugyanaz, és egyenlő 34-gyel, a végső érték ugyanazt a bázist kapja egy fokozattal (a fenti szabályok szerint):

Más szavakkal:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Válasz: A kifejezés egyenlő eggyel.

Ha nem figyelünk a nyolcadik fokra, mit látunk itt? Nézzük a 7. osztály programját. Szóval emlékszel? Ez a rövidített szorzási képlet, mégpedig a négyzetek különbsége! Kapunk:

Gondosan megnézzük a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések hibás sorrendje. Ha felcserélték őket, akkor a szabály érvényes lehet.

De hogyan kell ezt csinálni? Kiderül, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít nekünk.

A kifejezések varázslatosan helyet változtattak. Ez a "jelenség" minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket szabadon változtathatjuk.

De fontos emlékezni: minden jel egyszerre változik!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

egész megnevezzük a természetes számokat, ellentéteiket (vagyis a "" jellel felvetve) és a számot.

pozitív egész szám, és nem különbözik a természetestől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző részben.

Most pedig nézzünk új eseteket. Kezdjük egy mutatóval egyenlő.

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel:

Mint mindig, most is feltesszük magunknak a kérdést: miért van ez így?

Vegye figyelembe az alap teljesítményét. Vegyük például, és szorozzuk meg a következővel:

Tehát megszoroztuk a számot, és ugyanazt kaptuk, mint volt -. Milyen számmal kell megszorozni, hogy semmi ne változzon? Így van, rá. Eszközök.

Ugyanezt tetszőleges számmal is megtehetjük:

Ismételjük meg a szabályt:

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.

De sok szabály alól van kivétel. És itt is ott van - ez egy szám (mint alap).

Egyrészt minden fokkal egyenlőnek kell lennie - hiába szorozod meg a nullát önmagával, akkor is nullát kapsz, ez egyértelmű. Másrészt, mint minden nulla fokos számnak, egyenlőnek kell lennie. Tehát mi az igazság ebben? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem keverednek bele, és nem voltak hajlandók nullát nullára emelni. Vagyis most már nem csak oszthatjuk nullával, hanem emelhetjük is a nulla hatványra.

Menjünk tovább. Az egész számok a természetes számok és számok mellett negatív számokat is tartalmaznak. Hogy megértsük, mi a negatív fok, tegyük ugyanazt, mint legutóbb: valamilyen normál számot megszorozunk ugyanannak a negatív fokozatban:

Innen már könnyű kifejezni a kívántat:

Most kiterjesztjük a kapott szabályt tetszőleges mértékben:

Tehát fogalmazzuk meg a szabályt:

Egy szám negatív hatványhoz azonos szám pozitív hatványának fordítottja. De ugyanakkor az alap nem lehet null:(mert nem lehet osztani).

Összefoglaljuk:

I. A kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

II. A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel: .

III. Az a szám, amely nem egyenlő nullával egy negatív hatványhoz, azonos szám pozitív hatványának inverze: .

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Nos, mint általában, példák egy független megoldásra:

Feladatok elemzése önálló megoldáshoz:

Tudom, tudom, ijesztőek a számok, de a vizsgán mindenre készen kell állni! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze a megoldásukat, ha nem tudta megoldani, és a vizsgán megtanulja, hogyan kezelheti ezeket könnyedén!

Bővítsük tovább a kitevőnek „megfelelő” számok körét.

Most fontolja meg racionális számok. Milyen számokat nevezünk racionálisnak?

Válasz: mindaz, ami törtként ábrázolható, ahol és az egész számok, ráadásul.

Hogy megértsük, mi az "töredékfok" Tekintsünk egy töredéket:

Emeljük az egyenlet mindkét oldalát hatványra:

Most emlékezzen a szabályra "fokról fokra":

Milyen számot kell hatványra emelni, hogy megkapjuk?

Ez a megfogalmazás a th fok gyökerének meghatározása.

Hadd emlékeztesselek: egy szám () hatványának gyöke egy olyan szám, amely hatványra emelve egyenlő.

Vagyis a th fok gyöke a hatványozás fordított művelete: .

Kiderült, hogy. Nyilvánvalóan ez a speciális eset kiterjeszthető: .

Most add hozzá a számlálót: mi az? A választ könnyen megtalálhatja a teljesítmény-hatalom szabályával:

De lehet az alap bármilyen szám? Végül is a gyökér nem kinyerhető minden számból.

Egyik sem!

Ne feledje a szabályt: minden páros hatványra emelt szám pozitív szám. Vagyis a negatív számokból nem lehet páros fokú gyököket kivonni!

Ez pedig azt jelenti, hogy az ilyen számokat nem lehet páros nevezővel tört hatványra emelni, vagyis a kifejezésnek nincs értelme.

Mi a helyzet a kifejezéssel?

De itt egy probléma adódik.

A szám más, redukált törtként is ábrázolható, például, ill.

És kiderül, hogy létezik, de nem létezik, és ez csak két, azonos számú rekord.

Vagy egy másik példa: egyszer, akkor le tudod írni. De amint máshogy írjuk a mutatót, ismét bajba kerülünk: (vagyis teljesen más eredményt kaptunk!).

Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében fontolja meg csak pozitív alapkitevő töredékes kitevővel.

Tehát, ha:

• - természetes szám;
• egy egész szám;

Példák:

A racionális kitevővel rendelkező hatványok nagyon hasznosak a gyökökkel rendelkező kifejezések átalakításához, például:

5 gyakorlati példa

5 példa elemzése a képzéshez

1. Ne feledkezzünk meg a fokok szokásos tulajdonságairól:

2. . Itt felidézzük, hogy elfelejtettük megtanulni a foktáblázatot:

elvégre - ez ill. A megoldás automatikusan megtalálható: .

Nos, most - a legnehezebb. Most elemezzük fok irracionális kitevővel.

A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoknál, kivéve

Valójában definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor természetes, egész és racionális mutatókkal tanulmányoztuk a fokozatokat, minden alkalommal kitaláltunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy ismertebb kifejezésekkel.

Például a természetes kitevő egy önmagával többszörös szorzat;

...nulla teljesítmény- ez mintegy önmagával egyszer megszorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „előkészítés egy szám”, nevezetesen egy szám;

...negatív egész kitevő- mintha egy bizonyos „fordított folyamat” ment volna végbe, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Mellesleg tudományból diplomával összetett mutató, vagyis a kitevő nem is valós szám.

De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetőséged megérteni ezeket az új fogalmakat.

HOVA BIZTOSÍTUNK, HOGY MENNI fog! (ha megtanulod az ilyen példák megoldását :))

Például:

Döntsd el magad:

A megoldások elemzése:

1. Kezdjük a fokozatba emelés már megszokott szabályával:

Most nézd meg a pontszámot. Emlékeztet valamire? Emlékezzünk a négyzetek különbségének rövidített szorzásának képletére:

Ebben az esetben,

Kiderült, hogy:

Válasz: .

2. A kitevőben lévő törteket azonos alakra hozzuk: vagy mindkettő tizedes, vagy mindkettő közönséges. Kapunk például:

Válasz: 16

3. Semmi különös, jelentkezz szabályos tulajdonságok fokok:

HALADÓ SZINT

A fokozat meghatározása

A fokozat a következő alak kifejezése: , ahol:

• — végzettség alapja;
• - kitevő.

Fok természetes kitevővel (n = 1, 2, 3,...)

Egy szám n természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:

Hatvány egész kitevővel (0, ±1, ±2,...)

Ha a kitevő az pozitív egész szám szám:

erekció nulla teljesítményre:

A kifejezés határozatlan, mert egyrészt bármilyen fokig ez, másrészt tetszőleges fokú szám ez.

Ha a kitevő az egész szám negatív szám:

(mert nem lehet osztani).

Még egyszer a nullokról: a kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

Példák:

Fokozat racionális kitevővel

• - természetes szám;
• egy egész szám;

Példák:

Fokozat tulajdonságai

A problémamegoldás megkönnyítése érdekében próbáljuk megérteni: honnan származnak ezek a tulajdonságok? Bizonyítsuk be őket.

Lássuk: mi az és?

Definíció szerint:

Tehát ennek a kifejezésnek a jobb oldalán a következő terméket kapjuk:

De definíció szerint ez egy szám hatványa kitevővel, azaz:

Q.E.D.

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : .

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban szükségszerűen ugyanazon az alapon kell lennie. Ezért a fokokat kombináljuk az alappal, de különálló tényező marad:

Egy másik fontos megjegyzés: ez a szabály - csak az erők termékeinél!

Semmi esetre sem szabad ilyet írnom.

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat meghatározására:

Rendezzük át így:

Kiderül, hogy a kifejezést egyszer megszorozzuk önmagával, vagyis a definíció szerint ez a szám -edik hatványa:

Valójában ezt nevezhetjük "az indikátor zárójelbe állításának". De ezt soha nem teheti meg összesen:!

Idézzük fel a rövidített szorzás képleteit: hányszor akartuk leírni? De ez nem igaz, tényleg.

Hatalom negatív bázissal.

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen index fokozat. De mi legyen az alap? fokban természetes indikátor az alap lehet bármilyen szám .

Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros. Gondoljuk végig, milyen jeleknek (" " vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív lesz? DE? ?

Az elsővel minden világos: akárhány pozitív számot szorozzuk meg egymást, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Végül is emlékszünk egy egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz szor a mínusz pluszt ad." Vagyis, ill. De ha (-vel) megszorozzuk, - kapjuk.

És így tovább a végtelenségig: minden további szorzással az előjel megváltozik. Lehet ilyeneket megfogalmazni egyszerű szabályok:

1. még fokozat, - szám pozitív.
2. A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
3. pozitív szám bármely hatványhoz pozitív szám.
4. Nulla bármely hatványhoz egyenlő nullával.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sikerült? Íme a válaszok:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5. példában minden nem olyan félelmetes, mint amilyennek látszik: nem számít, hogy mivel egyenlő az alap - a fok páros, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem ugyanaz, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű. Itt kell kideríteni, melyik a kevesebb: vagy? Ha erre emlékszel, világossá válik, ami azt jelenti, hogy az alap kisebb, mint nulla. Vagyis alkalmazzuk a 2. szabályt: az eredmény negatív lesz.

És ismét a fokozat definícióját használjuk:

Minden a szokásos módon történik - felírjuk a fokok meghatározását, és felosztjuk őket egymásra, párokra osztjuk, és megkapjuk:

Mielőtt az utolsó szabályt elemeznénk, oldjunk meg néhány példát.

Számítsa ki a kifejezések értékét:

Megoldások :

Ha nem figyelünk a nyolcadik fokra, mit látunk itt? Nézzük a 7. osztály programját. Szóval emlékszel? Ez a rövidített szorzási képlet, mégpedig a négyzetek különbsége!

Kapunk:

Gondosan megnézzük a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések hibás sorrendje. Ha megfordítanák, a 3. szabályt lehetne alkalmazni. De hogyan kell ezt megtenni? Kiderül, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít nekünk.

Ha megszorozod, semmi sem változik, igaz? De most így néz ki:

A kifejezések varázslatosan helyet változtattak. Ez a "jelenség" minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket szabadon változtathatjuk. De fontos emlékezni: minden jel egyszerre változik! Nem helyettesíthető azzal, hogy csak egy számunkra kifogásolható mínuszt változtatunk meg!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Tehát most az utolsó szabály:

Hogyan fogjuk bizonyítani? Természetesen szokás szerint: bővítsük ki a diploma fogalmát és egyszerűsítsük:

Nos, most nyissuk ki a zárójeleket. Hány levél lesz? alkalommal szorzókkal – hogyan néz ki? Ez nem más, mint egy művelet meghatározása szorzás: összesen kiderült, hogy szorzók vannak. Vagyis ez definíció szerint egy kitevővel rendelkező szám hatványa:

Példa:

Fok irracionális kitevővel

Az átlagos szint fokozataira vonatkozó információk mellett a fokozatot egy irracionális mutatóval elemezzük. A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, azzal a kivétellel - elvégre definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis , az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor természetes, egész és racionális mutatókkal tanulmányoztuk a fokozatokat, minden alkalommal kitaláltunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy ismertebb kifejezésekkel. Például a természetes kitevő egy önmagával többszörös szorzat; egy nullafokú szám mintegy önmagával egyszer szorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „szám előkészítése”, nevezetesen egy szám; egy fok egész szám negatív jelzővel - olyan, mintha egy bizonyos „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Rendkívül nehéz elképzelni egy fokot irracionális kitevővel (ahogyan nehéz elképzelni egy 4 dimenziós teret). Inkább egy tisztán matematikai objektumról van szó, amelyet a matematikusok azért hoztak létre, hogy a fok fogalmát a számok teljes terére kiterjesszék.

A tudomány egyébként sokszor összetett kitevős fokot használ, vagyis a kitevő nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetőséged megérteni ezeket az új fogalmakat.

Mit tegyünk tehát, ha irracionális kitevőt látunk? Igyekszünk mindent megtenni, hogy megszabaduljunk tőle! :)

Például:

Döntsd el magad:

1)

2)

3)

Válaszok:

1. Emlékezzen a négyzetek különbségére. Válasz: .
2. A törteket ugyanabba a formába hozzuk: vagy mindkét tizedesjegyet, vagy mindkét közönségest. Kapjuk például: .
3. Semmi különös, a fokozatok szokásos tulajdonságait alkalmazzuk:

SZAKASZ ÖSSZEFOGLALÓ ÉS ALAPKÉPLET

Fokozat a következő alak kifejezésének nevezzük: , ahol:

Fok egész kitevővel

fok, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

Fokozat racionális kitevővel

fok, melynek mutatója a negatív és a törtszámok.

Fok irracionális kitevővel

kitevő, amelynek kitevője egy végtelen tizedes tört vagy gyök.

Fokozat tulajdonságai

A fokozatok jellemzői.

• A negatív szám értékre emelve még fokozat, - szám pozitív.
• A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
• Egy pozitív szám bármely hatványhoz pozitív szám.
• A nulla bármely hatványnak felel meg.
• A nulla hatvány bármely szám egyenlő.

MOST VAN EGY SZAVAD...

Hogy tetszik a cikk? Az alábbi megjegyzésekben tudassa velem, hogy tetszett-e vagy sem.

Mondja el nekünk az erőtulajdonságokkal kapcsolatos tapasztalatait.

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben.

És sok sikert a vizsgákhoz!

Hatványképletek komplex kifejezések redukálására és egyszerűsítésére, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására használják.

Szám c van n-egy szám hatványa a mikor:

Műveletek fokozatokkal.

1. A fokokat azonos alappal szorozva a mutatóik összeadódnak:

a ma n = a m + n.

2. Az azonos bázisú fokok felosztásánál mutatóikat levonjuk:

3. 2 vagy több tényező szorzatának mértéke egyenlő ezen tényezők fokszámainak szorzatával:

(abc…) n = a n b n c n …

4. A tört foka megegyezik az osztó és az osztó fokszámának arányával:

(a/b) n = a n / b n.

5. Hatványt hatványra emelve a kitevőket megszorozzuk:

(am) n = a m n .

Minden fenti képlet helyes a balról jobbra és fordítva.

Például. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Műveletek gyökerekkel.

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. Az arány gyöke megegyezik az osztalék és a gyökosztó arányával:

3. Ha gyökér hatványra emel, elég a gyökér számot erre a hatványra emelni:

4. Ha növeljük a gyökér fokát be n egyszer és egyben emelni to n A hatvány gyökszám, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha csökkentjük a gyökér fokát be n root egyidejűleg n fokot a gyökszámtól, akkor a gyök értéke nem változik:

Fok negatív kitevővel. Egy bizonyos, nem pozitív (egész) kitevővel rendelkező szám fokszámát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám fokszámával, amelynek kitevője megegyezik a nem pozitív kitevő abszolút értékével:

Képlet a m:a n = a m - n nem csak arra használható m> n, hanem at m< n.

Például. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

A képlethez a m:a n = a m - n igazságossá vált m=n, szükség van a nulla fok jelenlétére.

Fok nulla kitevővel. Bármely nullától eltérő, nulla kitevővel rendelkező szám hatványa egyenlő eggyel.

Például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Egy fok törtkitevővel. Valós szám emelésére a bizonyos mértékig m/n, ki kell bontani a gyökeret n fokozata m ennek a számnak a hatványa a.