Mi a költségmátrix elemzés. Tantervi mátrix elemzés
Előadások tanfolyam a fegyelemről
"Matrix elemzés"
2. éves hallgatóknak
Matematika Kar szak
"Gazdasági kibernetika"
(előadó Dmitruk Maria Alexandrovna)
1. Funkció meghatározása.
Df. Legyen
egy skaláris argumentumfüggvény. Meg kell határozni, hogy mit értünk f(A) alatt, azaz. ki kell terjesztenünk az f(x) függvényt az argumentum mátrixértékére.A probléma megoldása ismert, ha f(x) polinom:
, azután .Az f(A) definíciója általános esetben.
Legyen m(x) az A minimális polinom, és legyen kanonikus dekompozíciója
, , az A sajátértékei. Legyen a g(x) és h(x) polinom ugyanazok az értékek.Legyen g(A)=h(A) (1), akkor a d(x)=g(x)-h(x) polinom az A megsemmisítő polinomja, mivel d(A)=0, tehát d(x) ) osztható egy lineáris polinommal, azaz. d(x)=m(x)*q(x) (2).
, azaz (3), , , .Egyezzünk meg m számban f(x) ilyenre
hívjuk meg az f(x) függvény értékeit az A mátrix spektrumán, és ezeknek az értékeknek a halmazát jelöljük.Ha az f(Sp A) halmaz definiálva van f(x)-re, akkor a függvény az A mátrix spektrumán van definiálva.
A (3)-ból következik, hogy a h(x) és g(x) polinomok azonos értékűek az A mátrix spektrumában.
Érvelésünk megfordítható, i.e. tól (3) Þ (3) Þ (1). Így, ha az A mátrix adott, akkor az f(x) polinom értékét teljesen meghatározzák ennek a polinomnak az A mátrix spektrumán lévő értékei, azaz. minden g i (x) polinom, amely a mátrix spektrumán ugyanazokat az értékeket veszi fel, azonos mátrixértékekkel rendelkezik g i (A). Megköveteljük, hogy az f(A) értékének meghatározása általános esetben ugyanennek az elvnek engedelmeskedjen.
Az f(x) függvény értékeinek az A mátrix spektrumán teljes mértékben meg kell határozniuk f(A)-t, azaz. a spektrumban azonos értékekkel rendelkező függvényeknek azonos f(A) mátrixértékkel kell rendelkezniük. Nyilvánvaló, hogy általános esetben f(A) meghatározásához elegendő egy g(x) polinomot találni, amely ugyanazokat az értékeket venné fel az A spektrumon, mint az f(A)=g(A) függvény.
Df. Ha az A mátrix spektrumán f(x) van definiálva, akkor f(A)=g(A), ahol g(A) egy polinom, amely ugyanazokat az értékeket veszi fel a spektrumban, mint az f(A),
Df.A függvény értéke az A mátrixból a polinom értékét ebben a mátrixban for
.A С[x]-ből származó polinomok közül, amelyek ugyanazokat az értékeket veszik fel az A mátrix spektrumán, mint f(x), legfeljebb (m-1) fokú, amely ugyanazokat az értékeket veszi fel az A mátrix spektrumán. Az A spektrum, mivel f(x) az osztás maradéka, bármely g(x) polinomnak ugyanaz az értéke az A mátrix spektrumán, mint f(x) az m(x)=g(x) minimális polinomig )=m(x)*g(x)+r(x) .
Ezt az r(x) polinomot Lagrange-Sylvester interpolációs polinomnak nevezzük az f(x) függvényre az A mátrix spektrumán.
Megjegyzés. Ha az A mátrix m(x) minimális polinomjának nincs több gyöke, azaz.
, akkor a függvény értéke a spektrumban.Példa:
Keresse meg r(x) tetszőleges f(x)-hez, ha a mátrix
. Szerkesszük meg f(H 1-et). Keresse meg a H 1 minimális polinomot – az utolsó invariáns tényezőt:
d n-1 = x 2; d n-1 = 1;
m x \u003d f n (x) \u003d n (x) / d n-1 (x) \u003d x nÞ 0 – m(x) n-szeres gyöke, azaz. H 1 n-szeres sajátértékei.
, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0)Þ .
2. Függvények tulajdonságai mátrixokból.
1. számú ingatlan. Ha a mátrix
sajátértékekkel rendelkezik (lehet köztük többszörös), és akkor az f(A) mátrix sajátértékei az f(x) polinom sajátértékei: .Bizonyíték:
Legyen az A mátrix karakterisztikus polinomja a következő:
, , . Számoljunk. Térjünk át az egyenlőségről a determinánsokra:Változtassunk az egyenlőségen:
(*)A (*) egyenlőség bármely f(x) halmazra érvényes, ezért az f(x) polinomot helyettesítjük ezzel
, kapunk: .A bal oldalon megkaptuk az f(A) mátrix karakterisztikus polinomját, amelyet jobb oldalon lineáris tényezőkre bontunk, ami azt jelenti, hogy
az f(A) mátrix sajátértékei.CHTD.
2. számú ingatlan. Hagyja a mátrixot
és az A mátrix sajátértékei, f(x) az A mátrix spektrumán definiált tetszőleges függvény, akkor az f(A) mátrix sajátértékei .Bizonyíték:
Mert Az f(x) függvény az A mátrix spektrumán van definiálva, akkor létezik az r(x) mátrixnak olyan interpolációs polinomja,
, majd f(A)=r(A), és az r(A) mátrixnak az 1. tulajdonság szerint sajátértékei lesznek, amelyek rendre egyenlőek lesznek .Történelmileg a vállalati stratégiai tervezés első modelljének az úgynevezett „növekedési részesedés” modellt tartották, amely ismertebb nevén a Boston Consulting Group (BCG) modellje.
Ez a modell egyfajta feltérképezése egy adott típusú vállalkozás pozícióinak egy stratégiai térben, amelyet két tengely (x, y) határoz meg, amelyek közül az egyik a megfelelő termék piacának növekedési ütemét méri, és a Az egyéb a szervezet termékeinek a kérdéses termék piacán való relatív részesedésének mérésére szolgál.
A BCG modell megjelenése logikus következtetése volt az egyiknek kutatómunka, amelyet egy időben a Boston Consulting Group tanácsadó cég szakembere végzett.
A 7 iparágban (villamos energia, műanyag, színesfém, elektromos berendezések, benzin stb.) 24 fő terméktípust előállító különböző szervezetek vizsgálata során empirikus tényeket állapítottak meg, hogy a termelési mennyiségek megduplázásakor a termelés változó költségei a termelési egységek 10-30%-kal csökkennek.
Azt is megállapították, hogy ez a tendencia szinte minden piaci szektorban előfordul.
Ezek a tények alapozták meg azt a következtetést, hogy a változó termelési költségek az egyik fő, ha nem a fő tényező az üzleti sikerben, és meghatározzák az egyik szervezet versenyelőnyét a másikkal szemben.
A termelési költségek, a termelési egység és a termelési mennyiség közötti összefüggést leíró empirikus függőségek levezetésére statisztikai módszereket alkalmaztunk. A versenyelőny egyik fő tényezője pedig a termelés volumenének egy az egyben való megfeleltetése volt, tehát az érintett termékek mekkora piaci részesedésével ez a mennyiség.
A BCG-modell fő hangsúlya a vállalkozás cash flow-ján van, amely vagy egy adott üzleti területen végzett műveletekre irányul, vagy az ilyen műveletekből fakad. Úgy gondolják, hogy a bevétel vagy a cash flow szintje nagyon erős funkcionális függésben van a piac növekedési ütemétől és a szervezet relatív részesedésétől ezen a piacon.
A szervezet üzleti tevékenységének növekedési üteme határozza meg, hogy a szervezet milyen mértékben használja fel a készpénzt.
Általánosan elfogadott, hogy bármely vállalkozás érettségi szakaszában és életciklusának utolsó szakaszában a sikeres vállalkozás készpénzt termel, míg a vállalkozás fejlődésének és növekedésének szakaszában készpénzfelvétel történik.
Következtetés: A sikeres üzletmenet folytonosságának megőrzése érdekében a „kiforrott” üzlet megvalósításából származó pénzkészletet részben olyan új üzletágakba kell befektetni, amelyek a szervezet jövőbeli bevételeit ígérik.
A BCG modellben a szervezet fő kereskedelmi céljai a tömeg és a profitráta növekedése. Ugyanakkor az elfogadható stratégiai döntések halmaza arra vonatkozóan, hogy hogyan lehet ezeket a célokat elérni, 4 lehetőségre korlátozódik:
- 1) növelje a szervezet üzleti tevékenységének részesedését a piacon;
- 2) a szervezet üzletágának piaci részesedésének megőrzéséért folytatott küzdelem;
- 3) a vállalkozás piaci pozíciójának maximális kihasználása;
- 4) mentesség az ilyen típusú vállalkozás alól.
A BCG modell által javasolt döntések a szervezet adott üzlettípusának helyzetétől, a két koordináta tengely által alkotott stratégiai tértől függenek. Ennek a paraméternek a használata a BCG modellben 3 okból lehetséges:
a növekvő piac rendszerint a közeljövőben az ilyen típusú üzletekbe történő befektetés megtérülését ígéri.
a megnövekedett piaci növekedési ráták még meglehetősen magas megtérülési ráta esetén is „-” jellel befolyásolják a készpénz mennyiségét, mivel ez fokozott vállalkozásfejlesztési befektetést igényel.
Két BCG modell létezik: klasszikus és adaptált. Tekintsük a klasszikus modellt:
A klasszikus modell felépítése:
Az abszcissza a szervezet egyes versenypozícióinak mérését mutatja ebben az üzletágban, mint a szervezet ezen üzletágban elért értékesítéseinek arányát az ezen az üzletágon belüli legnagyobb versenytárs eladásaihoz viszonyítva.
A BCG eredeti változatában az abszcissza skála logaritmikus. Így a BCG modell egy 2 * 2-es mátrix, amelyen az üzleti területek körökként jelennek meg, amelyek középpontjában a megfelelő piaci növekedési ráták és a szervezet relatív részesedése a megfelelő piacon alkotott koordináták metszéspontjában helyezkednek el.
Minden megrajzolt kör csak 1 vállalkozást jellemez – ez a szervezetre jellemző terület.
A kör mérete arányos a teljes piac teljes méretével. Ezt a méretet leggyakrabban a szervezet és a versenytársak megfelelő üzletágának egyszerű összeadása határozza meg.
Néha minden körhöz hozzárendelnek egy-egy szegmenst, amely jellemzi a szervezet üzletágának relatív részesedését ezen a piacon, bár ez nem szükséges a stratégiai következtetések levonásához ebben a modellben.
A tengelyek 2 részre osztása nem véletlenül történik. A mátrix tetején az átlag feletti növekedési rátákkal rendelkező üzleti területek állnak. Alul, illetve lejjebb.
Az eredeti BCG-modellben azt feltételezik, hogy a magas és alacsony növekedési ráták közötti határ az eladások évi 10%-os növekedése.
Mindegyik négyzet figuratív nevet kap (például: a BCG mátrixot „Állatkertnek” hívják).
"Csillagok": ezek olyan új üzleti területek, amelyek viszonylag nagy részesedést foglalnak el a virágzó, magas nyereséget hozó piacon. Ezeket az üzleti területeket iparáguk vezetőinek nevezhetjük, mivel nagyon magas jövedelmet hoznak a szervezetnek. A fő probléma azonban az, hogy megtaláljuk a megfelelő egyensúlyt a bevétel és a befektetés között ezen a területen, hogy ez utóbbiak jövőbeni megtérülését garantáljuk.
Cash Cows: Olyan üzleti területekről van szó, amelyek a múltban viszonylag nagy piaci részesedésre tettek szert, de az idő múlásával az adott iparág növekedése jelentősen lelassult, a cash flow ebben a pozícióban kiegyensúlyozott, mivel egy ilyen üzletágba történő befektetés megköveteli. a minimumot. Egy ilyen üzleti terület jó bevételt hozhat a szervezetnek (Ezek a korábbi "Sztárok").
Problémagyermekek: Ezek az üzleti területek a növekvő iparágakban versenyeznek, de viszonylag kis piaci részesedéssel rendelkeznek. A körülmények ezen kombinációja a beruházások növelésének szükségességét vonja maga után piaci részesedésének védelme érdekében. A magas növekedési ráták jelentős cash flow-t igényelnek, hogy megfeleljenek ennek a növekedésnek.
"Kutyák": Ezek olyan üzleti területek, amelyek viszonylag kis piaci részesedéssel rendelkeznek a lassan növekvő iparágakban. A pénzforgalom elhanyagolható, néha akár negatív is.
De nem sokan használják a Classic modellt, mivel ez nem praktikus, mivel naprakész adatokat kell szerezni a piac helyzetéről, valamint a vállalat és versenytársa részesedéséről. Ezért a számításokhoz használjuk
Testreszabott modell:
Az adaptált BCG mátrix a vállalat belső információi alapján épül fel. Szükséges adatok - a termékek értékesítési volumene egy bizonyos időszakra, amely nem lehet kevesebb 12 hónapnál, a jövőben a dinamika nyomon követéséhez a következő 3 hónap adatait kell hozzáadni (azaz 12, 15, 18, 21, 24 hónap). Az adatoknak nem januártól kell kezdődniük, hanem havi bontásban. Szintén fontos figyelembe venni az áruk vagy szolgáltatások értékesítésének szezonális jellegét a vállalat termékei esetében. A vizsgált cégnél az áruportfólió 5 árucsoportból áll, ezek értékesítéséről is megvannak a 2013. január-december időszakra vonatkozó adatok.
5. táblázat: A NordWest LLC értékesítési adatai
|
Kerámia csempe |
|||||||||||||
|
Sejtbeton |
 |
||||||||||||
|
Nagy formátumú tégla |
A stratégiai tervezésben és marketingben elég sok egyik vagy másik irányú mátrixot használnak. Szükség van ezen mátrixok rendszerezésére, valamint a mátrix megközelítés fokozatos bevezetésére a stratégiai elemzés és tervezés minden szakaszában.
A stratégiai tervezés szintjei a mátrix dimenzióban. A stratégiai tervezésben kiemelhető a vállalati szint, az üzleti szint és a funkcionális szint.
A vállalati szintű stratégiai tervezési mátrixok elemzik a vállalatba bevont vállalkozásokat, azaz. segít a portfólióelemzés elvégzésében, valamint a vállalat egészének helyzetének elemzésében.
Az üzleti réteg olyan mátrixokat tartalmaz, amelyek egy adott üzleti egységre vonatkoznak. A mátrixok és a leggyakrabban egy termékre hivatkoznak, elemzik ennek a terméknek a tulajdonságait, a termék piaci helyzetét stb.
A funkcionális szintű mátrixok feltárják azokat a tényezőket, amelyek befolyásolják a vállalkozás funkcionális területeit, amelyek közül a legfontosabbak a marketing, a személyzet.
A stratégiai elemzés és tervezés mátrixainak osztályozása.
A meglévő stratégiai elemzési és tervezési mátrixok e folyamat különböző aspektusait vizsgálják. A mátrixok osztályozása szükséges a mátrixmódszer stratégiai elemzésben és tervezésben való alkalmazásának mintázatainak és jellemzőinek azonosításához.
A mátrixok a meglévő jellemzők szerint a következők szerint osztályozhatók:
- Osztályozás a vizsgált sejtek száma szerint.
- Osztályozás vizsgálat tárgya szerint.
- Osztályozás a kapott információk szerint.
Minél több sejtet tartalmaz a mátrix, annál összetettebb és informatívabb. Ebben az esetben a mátrixokat négy csoportra lehet osztani. Az első csoportba a négy cellából álló mátrixok tartoznak. A második csoportban kilenc sejtből álló mátrixok vannak, a harmadikban - tizenhatból, a negyedikben - több mint tizenhat cellából.
A vizsgálat tárgya szerinti osztályozás a mátrixokat a vizsgált objektumtól függően csoportokra osztja. A Tudatosság-Attitűd mátrixban a vizsgálat tárgya a személyzet, valamint a „A fizetés hatása a csoportkapcsolatokra” mátrixban. További vizsgálati tárgy a cég portfóliója. A Shell/DPM, BCG mátrixok példaként szolgálhatnak ebben a csoportban.
Ez az osztályozás a kapott információk alapján két csoportra osztja a mátrixokat: kvantitatív vagy szemantikai. Ebben a csoportban egy példa a szám formájában megjelenő információ miatt kialakult mátrixra a szervezet gazdasági állapotának vektorának mátrixa, és a logikai információk miatt alakult ki - az asszociációk fő formáinak mátrixa.
Mátrix eszközök bevezetése a vállalkozás elemzésében és tervezésében.
Az első szakaszban javasolt a vállalkozás elsődleges elemzése. Három mátrixot választottak ki erre a célra. A SWOT mátrixot széles körben leírják a szakirodalomban. Az MCC-mátrix elemzi a vállalkozás küldetésének és főbb képességeinek való megfelelést. vektor mátrix gazdasági fejlődés A vállalkozás egy táblázat, amely a vállalkozás főbb mutatóinak számszerű adatait mutatja be. Ebből a mátrixból információkat vonhat le más mátrixokhoz, valamint ezen adatok alapján már ebben a szakaszban különféle következtetéseket vonhat le.
A mátrix módszerek alkalmazásának második lépése a piac és az iparág elemzése. Elemezi azokat a piacokat, amelyeken a vállalat működik, valamint az iparág egészét. A "Piac" alcsoportban a főbbek a BCG mátrix, amely a növekedési ütemek és a piaci részesedés kapcsolatát vizsgálja, valamint a GE mátrix, amely a piac vonzerejét és az iparág versenyképességét elemzi, és két változata van: a Daya. változat és a Monienson variáns. Az "Ipar" alcsoport olyan mátrixokat tartalmaz, amelyek az iparági környezetet, az ipar fejlődési mintáit tanulmányozzák. Ebben az alcsoportban a fő a Shell/DPM mátrix, amely az iparág vonzereje és a versenyképesség kapcsolatát vizsgálja.
A stratégiai tervezés következő lépései a differenciálási elemzés és a minőségelemzés. A megkülönböztetés és a minőség ebben az esetben olyan komponensként működik, amelyek segítségével a kívánt eredményt lehet elérni. A „Megkülönböztetés” csoportban három mátrix található. A „Versenyhelyzet javítása” mátrix lehetővé teszi a piaci lefedettségtől való megkülönböztetés mintáinak és függőségének vizuális azonosítását. A „Megkülönböztetés – Relatív költséghatékonyság” mátrix feltárja az adott piacon érvényesülő relatív költséghatékonyság és a differenciálás közötti kapcsolatot. A Teljesítmény-Innováció/Megkülönböztetés mátrix egy adott üzletág teljesítménye és az innovációk átvétele közötti kapcsolatot mutatja.
A „Minőségelemzés” csoport vizsgálati tárgya azon tényezők és minták azonosítása, amelyek olyan szempontot befolyásolnak, mint a termékek minősége. Egy csoport két mátrixot tartalmazhat. Az árképzési stratégiák mátrixa a termékeket minőség és ár alapján pozícionálja. A „Minőség – erőforrás-intenzitás” mátrix az előállított termék minőségének és az arra fordított erőforrások arányát határozza meg.
A stratégiai tervezésben a mátrix módszer lépésről lépésre történő megvalósítása során nem szerepel a "Menedzsment elemzés" és a "Marketingstratégia elemzés" csoport. Ezek a csoportok elszigeteltek. Az ezeket a csoportokat alkotó mátrixok a stratégiai tervezés minden szakaszában alkalmazhatók, és a funkcionális tervezés kérdéseivel foglalkoznak. A Kontrollelemzés csoport két alcsoportból áll. Az első alcsoport - "Menedzsment" - a vállalat irányítását, mint egészét, a vállalat irányítását, irányítását érintő folyamatokat tekinti. A „Személyzet” alcsoport a kollégák közötti folyamatokat, a különböző tényezők hatását a munkatársak teljesítményére veszi figyelembe.
Az egyes csoportok stratégiai elemzésének és tervezésének javasolt sémájában a mátrixok kölcsönhatásba lépnek egymással, de nem lehet csak egy mátrix eredményére vagy következtetésére hagyatkozni - figyelembe kell venni a csoport egyes mátrixaiból levont következtetéseket. . Az első csoport elemzése után a következő csoport elemzése történik. A „Menedzsment” és „Marketingstratégia” csoportokban végzett elemzések a stratégiai tervezés elemzésének minden szakaszában megtörténnek.
Egyedi mátrixok jellemzése
A SWOT elemzés napjainkban az egyik legelterjedtebb elemzési típus a stratégiai menedzsmentben. SWOT: Erősségek (Erők); Gyengeségek (Gyengeségek); Lehetőségek (Opportunities); Fenyegetések. A SWOT elemzés lehetővé teszi a vállalat erősségei és gyengeségei, valamint a potenciális lehetőségek és veszélyek azonosítását, strukturálását. Ezt úgy érik el, hogy összehasonlítják vállalatuk belső erősségeit és gyengeségeit a piac által számukra nyújtott lehetőségekkel. A megfelelés minősége alapján következtetést vonnak le arról, hogy milyen irányban kell fejlődnie a vállalkozásnak, és végső soron meghatározzák az erőforrások szegmensenkénti elosztását.
A SWOT elemzés célja, hogy a rendelkezésre álló információk rendszerezésén keresztül megfogalmazza a vállalkozás fejlesztésének fő irányait a vállalat erősségeiről és gyengeségeiről, valamint a lehetséges lehetőségekről és veszélyekről.
A legvonzóbb ebben a módszerben, hogy az információs mezőt közvetlenül maguk a vezetők, valamint a vállalat legkompetensebb munkatársai alakítják ki, saját tapasztalataik és helyzetlátásaik általánosítása és összehangolása alapján. Az elsődleges SWOT analízis mátrixának általános képe az 1. ábrán látható.
1. ábra. Az elsődleges stratégiai SWOT-elemzés mátrixa.
A tényezők következetes mérlegelése alapján döntések születnek a vállalkozás céljainak és stratégiáinak (vállalati, termék, erőforrás, funkcionális, vezetői) kiigazításáról, amelyek viszont meghatározzák. Főbb pontok tevékenységek szervezése.
A vállalat üzleti portfóliójának elemzése segíti a vezetőket a vállalat tevékenységi körének értékelésében. A társaságnak törekednie kell arra, hogy tevékenységének jövedelmezőbb területeibe fektessen be, és csökkentse a veszteséges területeket. A menedzsment első lépése az üzleti portfólió elemzése során, hogy azonosítsa azokat a kulcsfontosságú tevékenységi területeket, amelyek meghatározzák a vállalat küldetését. Az üzleti élet stratégiai elemeinek nevezhetők - SEB.
Az üzleti portfólió elemzésének következő lépésében a menedzsmentnek fel kell mérnie a különböző SEB-ek vonzerejét, és el kell döntenie, hogy mindegyikük mekkora támogatást érdemel. Egyes cégeknél ez informálisan, munkavégzés közben történik. A vezetés megvizsgálja a vállalat tevékenységeinek és termékeinek összességét, és a józan észtől vezérelve eldönti, hogy az egyes SEB-nek mennyit kell hoznia és kapnia. Más cégek formális módszereket alkalmaznak a portfóliótervezéshez.
A formális módszerek pontosabbnak és alaposabbnak nevezhetők. A formális módszerekkel végzett üzleti portfólióelemzés legismertebb és legsikeresebb módszerei közé tartoznak a következők:
- Boston Consulting Group (BCG) módszere;
- General Electric (GE) módszer.
A BCG módszer a növekedés/piaci részesedés mátrix elemzésének elvén alapul. Ez egy olyan portfóliótervezési módszer, amely a vállalat SEB-jét a piaci növekedési ütemük és az adott tételek relatív piaci részesedése alapján értékeli. A SEB-ket "csillagokra", "pénzes tehenekre", "sötét lovakra" és "kutyákra" osztják (lásd a 2. ábrát).
| T e m P R R |
ban ben s val vel ról ről nak nek és th |
"Csillag" | "Fejős tehén" |
| n és h nak nek és th |
"fejőtehén" | "Kutya" | |
| magas | alacsony | ||
| Relatív piaci részesedés | |||
2. ábra. BCG mátrix.
A 2. ábrán látható függőleges tengely, a piac növekedési üteme határozza meg a piac vonzerejének mértékét. A vízszintes tengely, a relatív piaci részesedés határozza meg a vállalat piaci pozíciójának erősségét. A növekedés/piaci részesedés mátrix szektorokra bontásakor a SEB négy típusát különböztethetjük meg.
"Csillagok". Gyorsan fejlődő üzletágak, nagy piaci részesedéssel rendelkező termékek. Általában komoly befektetést igényelnek növekedésük fenntartásához. Idővel növekedésük lelassul, és „készpénzes tehenek” válnak belőlük.
"Fejős tehén". Alacsony növekedési rátával és nagy piaci részesedéssel rendelkező üzletágak vagy termékek. Ezek a fenntartható, sikeres SEB-k kevesebb befektetést igényelnek piaci részesedésük megtartásához. Ugyanakkor magas bevételt hoznak, amit a cég a számlák kifizetésére, illetve más, befektetést igénylő SEB támogatására fordít.
"Sötét lovak" Üzleti elemek kis részesedéssel a gyorsan növekvő piacokon. Követelnek egy nagy szám piaci részesedésének megőrzésére, nemhogy növelésére. A vezetőségnek alaposan meg kell fontolnia, hogy mely „sötét lovakból” legyen „csillag”, és melyeket kell fokozatosan megszüntetni.
"Kutyák". Alacsony növekedési rátával és kis piaci részesedéssel rendelkező üzletágak és termékek. Lehet, hogy elegendő bevételt termelnek önmaguk fenntartásához, de nem ígérik, hogy komolyabb bevételi források lesznek.
Minden SEB a vállalat bruttó bevételéből való részesedése arányában kerül erre a mátrixra. A SES besorolása után a vállalatnak meg kell határoznia az egyes elemek szerepét a jövőben. Mindegyik SEB-re négy stratégia egyike alkalmazható. A vállalat növelheti a befektetést az üzlet egy elemébe, hogy piaci részesedést szerezzen. Vagy éppen annyit tud beruházni, hogy a SEB részesedése a jelenlegi szinten maradjon. Erőforrásokat szívhat el a SEB-től, rövid távú pénzforrásait egy bizonyos időn belül megvonhatja, függetlenül a hosszú távú következményektől. Végül a SEB-be történő befektetést megszüntetheti, ha eladja, vagy kivonja magát, és máshol használhatja fel a forrásokat.
Idővel a SEB megváltoztatja pozícióját a növekedés/piaci részesedés mátrixban. Minden SEB-nek megvan a maga életciklusa. Sok SEB „sötét lóként” indul, és kedvező körülmények között a „sztárok” kategóriájába kerül. Később, a piac növekedésének lelassulásával „pénzes tehenek” válnak belőlük, végül életciklusuk végén elhalványulnak vagy „kutyává” válnak. A vállalatoknak folyamatosan új termékeket és tevékenységeket kell bevezetniük, hogy egy részük „sztárokká”, majd „pénzes tehenekké” váljon, amelyek segítik más SEB-ek finanszírozását.
A mátrix módszerek nagyon sokat játszanak fontos szerep stratégiai elemzésben, tervezésben és marketingben. A mátrix módszer nagyon kényelmes - ez magyarázza elterjedtségét. Csak a mátrixos módszerek alkalmazása azonban nem elegendő, hiszen a mátrixok lehetővé teszik a stratégiai tervezés és marketing külön szemszögből történő feltárását, és nem mutatják a teljes képet, de más módszerekkel kombinálva a mátrix megközelítés lehetővé teszi a vizuális áttekintést. a vállalatnál lezajló folyamatok mintázatait és helyes következtetéseket levonni.
Asztal 1. Mátrix eszközök a szervezet tevékenységének elemzésében és tervezésében
| № | A problémamegoldás szintjei | Mátrix | Főbb jellemzők |
| 1 | Elsődleges elemzés | SWOT mátrix | A vállalkozás erősségei és gyengeségei, lehetőségek és veszélyek elemzése |
| 2 | Mátrix MCC | A vállalkozás küldetésének és főbb képességeinek való megfelelés elemzése | |
| 3 | A vállalkozás gazdasági fejlődésének vektorának mátrixa | Statisztikai adatok elemzése | |
| 4 | Piac/ipar elemzés | BCG mátrix | A növekedési ütemek és a piaci részesedés elemzése |
| 5 | Mátrix GE | A piaci vonzerő és versenyképesség összehasonlító elemzése | |
| 6 | ADL Mátrix | Iparági életciklus elemzés és relatív piaci pozíció | |
| 7 | Mátrix HoferSchendel | A versenytársak közötti pozíció elemzése az iparágban és a piac fejlődési szakasza | |
| 8 | Ansoff mátrix („piaci termék”) |
Stratégia elemzése a piacokkal és termékekkel kapcsolatban | |
| 9 | Porter mátrix (öt versenyerő) |
Vállalkozásfejlesztési stratégiai kilátások elemzése | |
| 10 | A piaci versenyreakció rugalmassági mátrixa | A vállalat tevékenységének elemzése a termék versenyképességi tényezőire, a kiemelt versenytárs termékre adott reakciójának rugalmasságától függően | |
| 11 | Termékcsoportosítási mátrix | Termékcsoportosítási elemzés | |
| 12 | Mátrix „Hatásbizonytalanság” | A hatás szintjének és a bizonytalanság mértékének elemzése új piacra lépéskor | |
| 13 | Ipar | Cooper mátrix | Az iparág vonzerejének és üzleti erejének elemzése |
| 14 | ShellDPM mátrix | Egy erőforrás-intenzív iparág vonzerejének elemzése a versenyképesség függvényében | |
| 15 | Hanyatlási stratégiák mátrixa | A versenyelőnyök elemzése az ipari környezetben | |
| 16 | Az alapvető összekapcsolási formák mátrixa | Társulás elemzése iparági környezetben | |
| 17 | A differenciálódás elemzése | Versenyképességi pozíciójavító mátrix | A differenciálódás és a piaci lefedettség elemzése |
| 18 | Mátrix „Differenciálás relatív költséghatékonysága” | A differenciálás és a relatív költséghatékonyság elemzése | |
| 19 | Mátrix „Teljesítmény – Innováció/Megkülönböztetés” | Az innováció/differenciálás és a teljesítmény elemzése | |
| 20 | Minőségelemzés | Mátrix „Ár-minőség” | A termék elhelyezése minőség és ár függvényében |
| 21 | Mátrix „Minőségi erőforrás-intenzitás” |
A minőség erőforrás-intenzitástól való függésének elemzése | |
| 22 | Marketingstratégia elemzés | Márkacsalád-kiterjesztési stratégiai mátrix | A megkülönböztető előnyök függésének elemzése és a célpiac szegmentációja |
| 23 | Mátrix „Tudatosság – hozzáállás az áruk márkájához” | A bruttó haszonkulcs és az értékesítési válasz kapcsolatának elemzése | |
| 24 | Marketing Csatorna Mátrix | A piac fejlődési üteme és a csatorna által hozzáadott érték kapcsolatának elemzése | |
| 25 | Mátrix „Kapcsolat-szolgáltatás adaptációs szintje” | A szolgáltatások ügyféligényekhez való alkalmazkodási szintjének az ügyféllel való kapcsolattartás mértékétől való függésének elemzése | |
| 26 | Mátrix "Marketing diagnosztika" |
A stratégia stratégia megvalósításától való függésének elemzése | |
| 27 | Menedzsment elemzés Menedzsment |
Stratégiai menedzsment módszerek mátrixa | A stratégia függőségének és a tervezés hatásának elemzése |
| 28 | A stratégiai menedzsment modell mátrixa | Az irányítási modell változástípustól való függésének elemzése | |
| 29 | Hersey-Blanchard mátrix | A szituációs vezetési modell elemzése | |
| 30 | Ohio Egyetem vezetési stílusának dimenziókombinációi mátrixa | A vezetési stílus dimenzióinak kombinációinak elemzése | |
| 31 | Mátrix „Management Grid” | Vezetői típusú elemzés | |
| 32 | Személyzet | Mátrix "Változás - a szervezetben" | A szervezetben végbemenő változások függőségének és a változásokkal szembeni ellenállásának elemzése |
| 33 | A fizetés befolyásának mátrixa a csoporton belüli kapcsolatokra | A csoportban fennálló kapcsolatok fizetési differenciáltságtól való függésének elemzése | |
| 34 | Egy személy csoportba sorolásának típusainak mátrixa | A szervezet értékeihez való hozzáállás és a szervezeti viselkedési normákhoz való hozzáállás közötti kapcsolat elemzése | |
| 35 | Mátrix „A legfontosabb üzleti képességek” | A piac és a legfontosabb üzleti képességek elemzése | |
| 36 | Mátrix „A munka fontossága” | A munkavégzés fontosságtól való függésének elemzése | |
| 37 | A meglévő formális teljesítménykritérium-rendszerek mátrixa | Meglévő formális teljesítménykritérium-rendszerek elemzése | |
| 38 | Teljesítménymenedzsment eredménymátrix | A teljesítménykritériumok kezelésének eredményeinek elemzése | |
| 39 | Blake-Mouton mátrix | A munkavégzés létszámtól és feladatszámtól való függésének elemzése | |
| 40 | McDonald Mátrix | Teljesítményelemzés |
Előadások tanfolyam a fegyelemről
"Matrix elemzés"
2. éves hallgatóknak
Matematika Kar szak
"Gazdasági kibernetika"
(előadó Dmitruk Maria Alexandrovna)
3. fejezet Mátrixfüggvények.
- Funkció meghatározása.
Df. Legyen a függvény skaláris argumentum. Meg kell határozni, hogy mit értünk f(A) alatt, azaz. ki kell terjesztenünk az f(x) függvényt az argumentum mátrixértékére.
A probléma megoldása ismert, ha f(x) polinom: , akkor.
Az f(A) definíciója általános esetben.
Legyen m(x) az A minimális polinom, és van egy kanonikus dekompozíciója, A sajátértékei. Legyen a g(x) és h(x) polinom ugyanaz.
Legyen g(A)=h(A) (1), akkor a d(x)=g(x)-h(x) polinom az A megsemmisítő polinomja, mivel d(A)=0, tehát d(x) ) osztható egy lineáris polinommal, azaz. d(x)=m(x)*q(x) (2).
Aztán, pl. (3), .
Megállapodunk, hogy m számot hívunk f(x)-hez az f(x) függvény ilyen értékei az A mátrix spektrumán, és ezeknek az értékeknek a halmazát jelöljük.
Ha az f(Sp A) halmaz definiálva van f(x)-re, akkor a függvény az A mátrix spektrumán van definiálva.
A (3)-ból következik, hogy a h(x) és g(x) polinomok azonos értékűek az A mátrix spektrumában.
Érvelésünk megfordítható, i.e. (3) (3) (1) bekezdéséből. Így, ha az A mátrix adott, akkor az f(x) polinom értékét teljesen meghatározzák ennek a polinomnak az A mátrix spektrumán lévő értékei, azaz. minden olyan gi(x) polinomnak, amely a mátrix spektrumán azonos értékeket vesz fel, ugyanaz a gi(A) mátrixérték. Megköveteljük, hogy az f(A) értékének meghatározása általános esetben ugyanennek az elvnek engedelmeskedjen.
Az f(x) függvény értékeinek az A mátrix spektrumán teljes mértékben meg kell határozniuk f(A)-t, azaz. a spektrumban azonos értékekkel rendelkező függvényeknek azonos f(A) mátrixértékkel kell rendelkezniük. Nyilvánvaló, hogy általános esetben f(A) meghatározásához elegendő egy g(x) polinomot találni, amely ugyanazokat az értékeket venné fel az A spektrumon, mint az f(A)=g(A) függvény.
Df. Ha az A mátrix spektrumán f(x) van definiálva, akkor f(A)=g(A), ahol g(A) egy polinom, amely ugyanazokat az értékeket veszi fel a spektrumban, mint az f(A),
Df. A függvény értéke az A mátrixból a polinom értékét ebben a mátrixban at-nak nevezzük.
A С[x]-ből származó polinomok közül ugyanazokat az értékeket véve az A mátrix spektrumán, mint f(x), legfeljebb (m-1) fokú, azonos értékeket véve az A spektrumon , mivel f(x) bármely olyan g(x) polinom osztásának maradéka, amelynek az A mátrix spektrumában ugyanazok az értékek, mint f(x) az m(x)=g(x) minimális polinomdal. =m(x)*g(x)+r(x).
Ezt az r(x) polinomot Lagrange-Sylvester interpolációs polinomnak nevezzük az f(x) függvényre az A mátrix spektrumán.
Megjegyzés. Ha az A mátrix m(x) minimális polinomjának nincs több gyöke, azaz. , akkor a függvény értéke a spektrumon.
Példa:
Keresse meg r(x) tetszőleges f(x)-hez, ha a mátrix
. Konstruáljuk f(H)1 ). Keresse meg a H minimális polinomot1 utolsó invariáns tényező:
, dn-1=x2 ; dn-1=1;
mx=fn(x)=dn(x)/dn-1(x)=xn 0 ntöbbszörös gyök m(x), azaz. n-szeres sajátértékek H1 .
, r(0)=f(0), r(0)=f(0),…,r(n-1)(0)=f(n-1)(0) .
- Függvények tulajdonságai mátrixokból.
1. számú ingatlan. Ha a mátrixnak vannak sajátértékei (ezek többszörösei is lehetnek), és akkor az f(A) mátrix sajátértékei az f(x) polinom sajátértékei: .
Bizonyíték:
Legyen az A mátrix karakterisztikus polinomja a következő:
Számoljunk. Térjünk át az egyenlőségről a determinánsokra:
Változtassunk az egyenlőségen:
A (*) egyenlőség bármely f(x) halmazra érvényes, ezért az f(x) polinomot a következőre cseréljük, így kapjuk:
A bal oldalon megkaptuk az f(A) mátrix karakterisztikus polinomját, amelyet a jobb oldalon lineáris tényezőkre bontunk, amiből az következik, hogy az f(A) mátrix sajátértékei.
CHTD.
2. számú ingatlan. Legyen a mátrix és az A, f(x) mátrix sajátértékei az A mátrix spektrumán definiált tetszőleges függvény, akkor az f(A) mátrix sajátértékei egyenlők.
Bizonyíték:
Mert az f(x) függvény az A mátrix spektrumán van definiálva, akkor van az r(x) mátrixnak olyan interpolációs polinomja, hogy, majd f(A)=r(A), és az r(A) mátrix ) az 1. számú tulajdonság szerinti sajátértékekkel rendelkezik, amelyek rendre egyenlőek.
CHTD.
3. számú ingatlan Ha A és B hasonló mátrixok, pl. , és f(x) az A mátrix spektrumán definiált tetszőleges függvény, akkor
Bizonyíték:
Mert A és B hasonlóak, akkor karakterisztikus polinomjaik és sajátértékeik megegyeznek, tehát az A mátrix spektrumán az f(x) értéke egybeesik a B mátrix spektrumán lévő f(x) függvény értékével, ill. van olyan r(x) interpolációs polinom, hogy f(A)=r(A), .
CHTD.
4. számú ingatlan. Ha A egy blokkátlós mátrix, akkor
Következmény: Ha, akkor ahol f(x) az A mátrix spektrumán definiált függvény.
- Lagrange-Sylvester interpolációs polinom.
1. számú ügy.
Adott legyen. Tekintsük az első esetet: a karakterisztikus polinomnak pontosan n gyöke van, amelyek között nincs többszörös, azaz. az A mátrix összes sajátértéke eltérő, pl. , Sp A egyszerű. Ebben az esetben megszerkesztjük az lk(x) alappolinomokat:
Legyen f(x) az A mátrix spektrumán definiált függvény, és legyen ennek a függvénynek a spektrum értéke. Építenünk kell.
Építsünk:
Jegyezzük meg.
Példa: Lagrange-Sylvester interpolációs polinom létrehozása egy mátrixhoz.
Alkossunk alappolinomokat:
Ekkor az A mátrix spektrumán definiált f(x) függvényre kapjuk:
Vessünk, akkor az interpolációs polinom
2. számú ügy.
Az A mátrix karakterisztikus polinomjának több gyöke van, de ennek a mátrixnak a minimális polinomja a karakterisztikus polinom osztója, és csak egyszerű gyökei vannak, pl. . Ebben az esetben az interpolációs polinom az előző esethez hasonlóan készül.
3. számú ügy.
Nézzük az általános esetet. Legyen a minimális polinom alakja:
ahol m1+m2+…+ms=m, fok r(x) Készítsünk egy tört-racionális függvényt: és bontsa egyszerű törtekre. Jelöljük ki: . Szorozza meg (*)-val és kapja meg hol van valami függvény, amely nem megy a végtelenbe. Ha beírjuk (**), a következőt kapjuk: Az ak3 megtalálásához (**) kétszer kell megkülönböztetni, és így tovább. Így az aki együttható egyedileg meghatározott. Az összes együttható megtalálása után visszatérünk (*)-hez, megszorozzuk m(x)-el, és megkapjuk az r(x) interpolációs polinomot, azaz. Példa: Keresse meg f(A) ha, ahol tvalamilyen paraméter,
Ellenőrizzük, hogy a függvény definiált-e az A mátrix spektrumán (*) szorzása (x-3) x=3-nál (*) szorzása (x-5) És így,egy interpolációs polinom. 2. példa Ha egy, akkor bizonyítsd be Keressük meg az A mátrix minimális polinomját: a karakterisztikus polinom. d2
(x)=1, akkor a minimális polinom Tekintsük f(x)=sin x-et a mátrixspektrumon: a függvény a spektrumon van definiálva. Szorozva
.
Szorozva:
Számítsa ki a derivált (**) segítségével: . Feltételezve,
, azaz.
Így,,
3. példa Legyen f(x) egy olyan mátrix spektrumán, amelynek minimális polinomja alakja. Keresse meg az f(x) függvény r(x) interpolációs polinomját! Megoldás: Az f(x) feltétellel az A mátrix spektrumán f(1), f(1), f(2), f(2), f(2) pontjában meghatározott. A határozatlan együtthatók módszerét használjuk: Ha f(x)=log x f(1)=0f(1)=1
f(2)=log 2f(2)=0.5
f(2)=-0.25
4. Egyszerű mátrixok.
Legyen a mátrix, mivel C algebrailag zárt mező, akkor x 1. Feladat Számítsa ki a kA+mB mátrixok összegét, ha Az összegmátrix elemeit a következő képlet határozza meg: cij=kaij+mbij. Számítsa ki az összegmátrix első sorának elemeit: C11=-4*2+5*3=7 C12=-4* (-1)+5*7=39 C13=-4*4+5*(-2)=-26 C21=-4*6+5*9=21 C22=-4*3+5*1=-7 C23=-4*0+5*6=30 С31=-4 * (-7)+5 * (-4)=8 C32=-4*5+5*8=20 C33=-4*9+5*5=-11 Így az összegmátrix a következő formában lesz: 2. feladat Számítsa ki az inverz mátrixot és ellenőrizze. Az inverz mátrix megtalálásához a következő algoritmust használjuk: A11=(-1) 2*3*3-0*(-5)=-9 A12=(-1) 3 * -4 * 3-1 * (-5)=7 A13=(-1) 4 * -4 * 0-1 * 3=-3 A21=(-1) 3*1*3-0*3=-3 A22=(-1) 4*-3*3-1*3=-12 A23=(-1) 5 * -3 * 0-1 * 1=1 A31=(-1) 4*1*(-5)-3*3=-14 A32 = (-1) 5 * -3 * (-5)-(-4) * 3 = -27 A33=(-1) 6 * -3 * 3-(-4) * 1=-5 Így kapjuk a mátrixot: 4. Transzponálja a kapott mátrixot: 5. Az utolsó mátrixot elosztjuk az eredeti mátrix determinánsával, és megkapjuk az inverz mátrixot: 6. Ellenőrizzük az eredményt. Ehhez megkeressük a kapott mátrix szorzatát az eredetivel: A -1 .* A=A * A -1 =*= == Így megkaptuk az identitásmátrixot. Ezért megtaláltuk az inverz mátrixot, igaz. 3. feladat Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a Cramer, Gauss módszerrel. Döntés: 1) Oldja meg a rendszert Cramer módszerével! Összeállítjuk a rendszer mátrixát: Kiszámoljuk ennek a mátrixnak a determinánsát: 0 * (-8) * 4+3 * 2 * (-5)+7 * 2 * 9-9 * (-8) * (-5)-3 * 7 * 4-0 * 2 * 2=-348?0 Meghatározók keresése? 1
, ?2, ?3, amelyet az eredeti determinánsból kapunk úgy, hogy az első, második és harmadik oszlopot egy szabad tagokból álló oszlopra cseréljük: 1==2 * (-8) * 4+3 * 2 * (-3)+9 * 5 * 2-9 * (-8) * (-3)-3 * 5 * 4-2 * 2 * 2=-276 2==0 * 5 * 4+2 * 2 * (-5)+9 * 7 * (-3)-9 * 5 * (-5)-2 * 7 * 2-0 * 2 * (-3)=- 40 3==0 * (-8) * (-3)+3 * 5 * (-5)+2 * 7 * 2-2 * (-8) * (-5)-3 * 7 * (-3)-0 * 5 * 2=- 64 Most a Cramer-képleteket használjuk x1=, x2=, x3= , keresse meg a rendszer megoldását: X1==,=0,79 x2==,=0,11 x3===0,18 2) A rendszert Gauss módszerrel oldjuk meg. Összeállítjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát, amely változók és szabad kifejezések együtthatóit tartalmazza: Szorozzuk meg a 2. sort (5-tel). Szorozzuk meg a 3. sort (7-tel). Adjuk hozzá a 3. sort a 2. sorhoz: Szorozzuk meg az 1. sort (26-tal). Szorozzuk meg a 2. sort (3-mal). Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz: Az 1. sorból x 3-at fejezünk ki A 2. sorból x 2-t fejezünk ki 26x 2 \u003d - + 4 \u003d 0,11 A 3. sorból x 1-et fejezünk ki 5x 1 \u003d -2 * 0,11- - 3 = 0,79 4. feladat mátrix determináns lineáris Cramer gauss Számítsa ki a 4. rendű determinánst! A negyedik sorba írjuk a determináns kiterjesztését: A \u003d\u003d 0 * A 41 +3 * A 42 + 0 * A 43 +1 * A 44 ahol Aij az ij a elem algebrai komplementere. Keressünk algebrai összeadásokat az A ij =(-1) i+j képlet szerint, ahol m ij az ij a elem mollja, amelyet az eredeti determinánsból úgy kapunk, hogy töröljük azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában ez elem áll. A 42 \u003d (-1) 4 + 2 * m 42 \u003d (-1) 6 * \u003d 4 * 7 * (-9) + 7 * (-7) * 0 + 1 * (-1) * 0 - 0 * 7 * 0 - 7 * 1 * (-9) - 4 * (-7) * (-1) = -217 A 44 \u003d (-1) 4 + 4 * m 44 \u003d (-1) 8 * \u003d 4 * (-3) * (-1) + 0 * 7 * 0 + 1 * 1 * 7-7 * (-3) * 0-0 * 1 * (-1)-4 * 7 * 1=-9 A kapott értékeket behelyettesítjük a determináns kiterjesztésébe: 3 * A 42 + A 44 \u003d 3 * (-217) + (-9) \u003d -660 5. feladat inverz determináns mátrix lineáris Cramer gauss Önállóan, a példával analóg módon, alkosson gazdasági tartalmú problémát, építse fel a gazdasági folyamat matematikai modelljét, és oldja meg a problémát. Feladat. A három I., II., III. típusú termékből egy-egy egység előállításához tartozó háromféle A, B, C alapanyag költségét és az egyes alapanyagfajták készleteit a táblázat tartalmazza (1. táblázat). : Asztal 1 Termékek Nyersanyag típusa Nyersanyag készletek Olyan gyártási tervet kell meghatározni, amely biztosítja az összes alapanyag felhasználását. Írjunk fel egy lineáris egyenletrendszert a táblázatban megadott adatok felhasználásával: ahol - az egyes típusok kimeneti mennyisége. A megoldáshoz a Gauss-módszert használjuk. Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát: A rendszert kiterjesztett mátrix formájában írjuk fel: Szorozzuk meg a 2. sort (-2)-vel. Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz: Szorozzuk meg a 2. sort (3-mal). Szorozzuk meg a 3. sort (-1)-gyel. Adjuk hozzá a 3. sort a 2. sorhoz: Szorozzuk meg az 1. sort (2-vel). Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz: Most az eredeti rendszer így írható fel: x2 = /2 x 1 = /3 Az 1. sorból x 3-at fejezünk ki A 2. sorból x 2-t fejezünk ki A 3. sorból x 1-et fejezünk ki
