Ce este analiza matricei de costuri. Analiza Matricei Curriculumului
Curs de prelegeri pe disciplina
"Analiza matricei"
pentru elevii din anul II
Specialitatea Facultatea de Matematică
„Cibernetică economică”
(profesor Dmitruk Maria Alexandrovna)
1. Definirea funcției.
Df. Lăsa
este o funcție de argument scalară. Este necesar să se definească ce se înțelege prin f(A), adică. trebuie să extindem funcția f(x) la valoarea matriceală a argumentului.Soluția acestei probleme este cunoscută atunci când f(x) este un polinom:
, apoi .Definiția lui f(A) în cazul general.
Fie m(x) polinomul minim A și are descompunerea canonică
, , sunt valorile proprii ale lui A. Fie polinoamele g(x) și h(x) să ia aceleasi valori.Fie g(A)=h(A) (1), atunci polinomul d(x)=g(x)-h(x) este polinomul anihilator pentru A, deoarece d(A)=0, deci d(x ) este divizibil cu un polinom liniar, i.e. d(x)=m(x)*q(x) (2).
, adică (3), , , .Să fim de acord asupra m numere pentru f(x) astfel
apelați valorile funcției f(x) pe spectrul matricei A, iar mulțimea acestor valori va fi notată cu .Dacă mulțimea f(Sp A) este definită pentru f(x), atunci funcția este definită pe spectrul matricei A.
Din (3) rezultă că polinoamele h(x) și g(x) au aceleași valori pe spectrul matricei A.
Raționamentul nostru este reversibil, adică. din (3) Þ (3) Þ (1). Astfel, dacă este dată matricea A, atunci valoarea polinomului f(x) este complet determinată de valorile acestui polinom pe spectrul matricei A, adică. toate polinoamele g i (x) care iau aceleași valori pe spectrul matricei au aceleași valori matricei g i (A). Solicităm ca definiția valorii lui f(A) în cazul general să se supună aceluiași principiu.
Valorile funcției f(x) pe spectrul matricei A trebuie să determine complet f(A), adică. funcțiile care au aceleași valori pe spectru trebuie să aibă aceeași valoare matriceală f(A). Evident, pentru a determina f(A) în cazul general, este suficient să găsim un polinom g(x) care să ia aceleași valori pe spectrul A ca și funcția f(A)=g(A).
Df. Dacă f(x) este definit pe spectrul matricei A, atunci f(A)=g(A), unde g(A) este un polinom care ia aceleași valori pe spectru ca f(A),
Df.Valoarea funcției din matricea A numim valoarea polinomului din aceasta matrice pt
.Dintre polinoamele din С[x], care iau aceleași valori pe spectrul matricei A, ca f(x), de grad nu mai mare decât (m-1), care ia aceleași valori pe spectrul A, deoarece f(x) este restul diviziunii orice polinom g(x) având aceleași valori pe spectrul matricei A ca f(x) la polinomul minim m(x)=g(x). )=m(x)*g(x)+r(x) .
Acest polinom r(x) se numește polinomul de interpolare Lagrange-Sylvester pentru funcția f(x) pe spectrul matricei A.
Cometariu. Dacă polinomul minim m(x) al matricei A nu are rădăcini multiple, i.e.
, apoi valoarea funcției pe spectru .Exemplu:
Găsiți r(x) pentru f(x) arbitrar dacă matricea
. Să construim f(H 1). Găsiți polinomul minim H 1 - ultimul factor invariant:
, d n-1 = x 2 ; d n-1 =1;
m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x nÞ 0 – rădăcină de n ori a lui m(x), adică. valori proprii de n ori ale lui H 1 .
, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0)Þ .
2. Proprietăți ale funcțiilor din matrice.
Proprietatea #1. Dacă matricea
are valori proprii (pot fi multipli între ele) și , atunci valorile proprii ale matricei f(A) sunt valorile proprii ale polinomului f(x): .Dovada:
Fie polinomul caracteristic al matricei A să aibă forma:
, , . Hai să numărăm. Să trecem de la egalitate la determinanți:Să facem o schimbare în egalitate:
(*)Egalitatea (*) este valabilă pentru orice mulțime f(x), așa că înlocuim polinomul f(x) cu
, primim: .În stânga, am obținut polinomul caracteristic pentru matricea f(A), descompus în dreapta în factori liniari, ceea ce presupune că
sunt valorile proprii ale matricei f(A).CHTD.
Proprietatea #2. Lasă matricea
și sunt valorile proprii ale matricei A, f(x) este o funcție arbitrară definită pe spectrul matricei A, atunci valorile proprii ale matricei f(A) sunt .Dovada:
pentru că funcția f(x) este definită pe spectrul matricei A, atunci există un polinom de interpolare al matricei r(x) astfel încât
, și apoi f(A)=r(A), iar matricea r(A) va avea valori proprii conform proprietății nr. 1 care vor fi, respectiv, egale cu .Din punct de vedere istoric, primul model de planificare strategică corporativă este considerat a fi așa-numitul model „cota de creștere”, care este mai bine cunoscut ca modelul Boston Consulting Group (BCG).
Acest model este un fel de cartografiere a pozițiilor unui anumit tip de afacere într-un spațiu strategic definit de două axe (x, y), dintre care una este utilizată pentru a măsura rata de creștere a pieței pentru produsul corespunzător și other este folosit pentru a măsura ponderea relativă a produselor organizației pe piața produsului în cauză.
Apariția modelului BCG a fost concluzia logică a unuia muncă de cercetare, realizată la un moment dat de un specialist al companiei de consultanță Boston Consulting Group.
În procesul studierii diverselor organizații care produc 24 de tipuri principale de produse în 7 industrii (electricitate, materiale plastice, metale neferoase, echipamente electrice, benzină etc.), s-au stabilit fapte empirice că odată cu dublarea volumelor de producție, costurile variabile a unităților de producție de producție se reduc cu 10-30%.
De asemenea, s-a constatat că această tendință apare în aproape fiecare sector de piață.
Aceste fapte au devenit baza pentru concluzia că costurile variabile de producție sunt unul dintre factorii principali, dacă nu principalul, al succesului în afaceri și determină avantajele competitive ale unei organizații față de alta.
Metodele statistice au fost utilizate pentru a deriva dependențe empirice care descriu relația dintre costurile de producție, unitățile de producție și volumul producției. Și unul dintre principalii factori de avantaj competitiv a fost pus în corespondență unu-la-unu cu volumul producției și, prin urmare, cu ce cotă de piață a produselor relevante ocupă acest volum.
Accentul principal al modelului BCG este pe fluxul de numerar al întreprinderii, care este direcționat fie către desfășurarea operațiunilor într-o anumită zonă de afaceri, fie rezultă din astfel de operațiuni. Se crede că nivelul veniturilor sau fluxului de numerar este într-o dependență funcțională foarte puternică de rata de creștere a pieței și de ponderea relativă a organizației pe această piață.
Rata de creștere a afacerii unei organizații determină rata la care organizația va folosi numerar.
Este general acceptat că în stadiul de maturitate și în etapa finală a ciclului de viață al oricărei afaceri, o afacere de succes generează numerar, în timp ce în etapa de dezvoltare și creștere a unei afaceri există o absorbție de numerar.
Concluzie: Pentru a menține continuitatea unei afaceri de succes, masa monetară rezultată din implementarea unei afaceri „mature” trebuie investită parțial în noi domenii de afaceri care promit să devină generatoare de venituri viitoare pentru organizație.
În modelul BCG, principalele obiective comerciale ale organizației sunt creșterea masei și a ratei profitului. În același timp, setul de decizii strategice acceptabile cu privire la modul în care aceste obiective pot fi atinse este limitat la 4 opțiuni:
- 1) creșterea ponderii activității organizației pe piață;
- 2) lupta pentru menținerea ponderii afacerilor organizației pe piață;
- 3) utilizarea maximă a poziției afacerii pe piață;
- 4) scutire de la acest tip de afaceri.
Deciziile pe care le sugerează modelul BCG depind de poziția specificului tip de business al organizației, de spațiul strategic format din cele două axe de coordonate. Utilizarea acestui parametru în modelul BCG este posibilă din 3 motive:
o piață în creștere, de regulă, promite o rentabilitate a investiției în acest tip de afaceri în viitorul apropiat.
ratele crescute de creștere a pieței afectează suma de numerar cu semnul „-” chiar și în cazul unei rate de rentabilitate destul de ridicate, deoarece necesită investiții sporite în dezvoltarea afacerii.
Există două modele BCG: clasic și adaptat. Luați în considerare modelul clasic:
Structura modelului clasic:
Abscisa arată măsurarea unor poziții competitive ale organizației în această afacere ca raport dintre vânzările organizației în această afacere și vânzările celui mai mare concurent din această zonă de afaceri.
În versiunea originală a BCG, scara de abscisă este logaritmică. Astfel, modelul BCG este o matrice 2 * 2, pe care zonele de afaceri sunt afișate sub formă de cercuri centrate la intersecția coordonatelor formate de ratele corespunzătoare de creștere a pieței și ponderea relativă a organizației pe piața corespunzătoare.
Fiecare cerc trasat caracterizează doar 1 afacere - o zonă caracteristică acestei organizații.
Mărimea cercului este proporțională cu dimensiunea totală a întregii piețe. Cel mai adesea, această dimensiune este determinată de o simplă adăugare a afacerii organizației și a afacerilor corespunzătoare ale concurenților săi.
Uneori pe fiecare cerc i se alocă câte un segment, care caracterizează ponderea relativă a zonei de afaceri a organizației pe această piață, deși acest lucru nu este necesar pentru a obține concluzii strategice în acest model.
Împărțirea axelor în 2 părți nu se face întâmplător. În partea de sus a matricei se află zonele de afaceri cu rate de creștere peste medie. În jos, respectiv, mai jos.
În modelul original BCG, se presupune că granița dintre ratele de creștere ridicate și scăzute este o creștere cu 10% a vânzărilor pe an.
Fiecare dintre aceste pătrate primește nume figurative (de exemplu: matricea BCG se numește „Zoo”).
„Stars”: acestea sunt noi zone de afaceri care ocupă o cotă relativ mare a unei piețe în plină expansiune care aduce profituri mari. Aceste zone de afaceri pot fi numite lideri în industriile lor, deoarece aduc organizației un venit foarte mare. Totuși, principala problemă este găsirea echilibrului corect între venituri și investiții în acest domeniu pentru a garanta rentabilitatea acestora din urmă pe viitor.
Cash Cows: Sunt zone de afaceri care au câștigat o cotă de piață relativ mare în trecut, dar de-a lungul timpului creșterea industriei respective a încetinit considerabil, cash-flow-ul în această poziție fiind bine echilibrat, întrucât investiția într-o astfel de zonă de afaceri necesită minimul strict. O astfel de zonă de afaceri poate aduce un venit bun organizației (Aceștia sunt fostele „Stars”).
Copii cu probleme: Aceste domenii de afaceri concurează în industrii în creștere, dar dețin o cotă de piață relativ mică. Această combinație de circumstanțe duce la necesitatea creșterii investițiilor pentru a-și proteja cota de piață. Ratele mari de creștere necesită un flux de numerar semnificativ pentru a se potrivi cu această creștere.
„Câini”: acestea sunt zone de afaceri cu cotă de piață relativ mică în industriile cu creștere lentă. Fluxul de numerar este neglijabil, uneori chiar negativ.
Însă nu mulți folosesc modelul Classic, acesta fiind nepractic din cauza necesității de a obține date la zi cu privire la starea pieței și la cota ocupată de companie și de concurentul acesteia. Prin urmare, pentru calcule folosim
Model personalizat:
Matricea BCG adaptată este construită pe baza informațiilor interne ale companiei. Date necesare - volume de vânzări de produse pentru o anumită perioadă, care nu poate fi mai mică de 12 luni, în viitor, pentru a urmări dinamica, este necesar să adăugați date pentru următoarele 3 luni (adică date pentru 12, 15, 18, 21, 24 de luni). Datele nu trebuie să înceapă din luna ianuarie, ci trebuie să fie pe lună. De asemenea, este important să luați în considerare caracterul sezonier al vânzărilor de bunuri sau servicii pentru produsele companiei dumneavoastră. În cadrul companiei în cauză, portofoliul de mărfuri este format din 5 grupe de mărfuri și există și date despre vânzările acestora pentru perioada ianuarie - decembrie 2013.
Tabelul 5. Datele de vânzări ale NordWest LLC
|
Placă ceramică |
|||||||||||||
|
Beton celular |
 |
||||||||||||
|
Caramida de format mare |
În planificarea strategică și marketing, sunt folosite destul de multe matrice dintr-o direcție sau alta. Este nevoie de sistematizarea acestor matrici, precum și de introducerea treptată a abordării matriceale în toate etapele analizei și planificării strategice.
Niveluri de planificare strategică în dimensiunea matriceală. În planificarea strategică, se poate evidenția nivelul corporativ, nivelul afacerii și nivelul funcțional.
Matricele de planificare strategică la nivel corporativ analizează afacerile incluse în corporație, i.e. ajută la efectuarea analizei portofoliului, precum și a analizei situației din corporație în ansamblu.
Stratul de afaceri include matrici care sunt relevante pentru o anumită unitate de afaceri. Matrice și se referă cel mai adesea la un singur produs, analizează proprietățile acestui produs, situația de pe piață pentru acest produs etc.
Matricele de nivel funcțional explorează factorii care afectează zonele funcționale ale întreprinderii, dintre care cele mai importante sunt marketingul, personalul.
Clasificarea matricelor de analiză și planificare strategică.
Analiza strategică existentă și matricele de planificare explorează Aspecte variate acest proces. Clasificarea matricelor este necesară pentru a identifica tipare și caracteristici ale aplicării metodei matricelor în analiza și planificarea strategică.
Matricele în funcție de caracteristicile existente pot fi clasificate după cum urmează:
- Clasificarea după numărul de celule studiate.
- Clasificarea după obiectul de studiu.
- Clasificare in functie de informatiile primite.
Cu cât matricea conține mai multe celule, cu atât este mai complexă și mai informativă. În acest caz, este posibilă împărțirea matricelor în patru grupuri. Primul grup include matrici formate din patru celule. În al doilea grup există matrici formate din nouă celule, în a treia - de la șaisprezece, în a patra - mai mult de șaisprezece celule.
Clasificarea în funcție de obiectul de studiu împarte matricele în grupuri în funcție de obiectul studiat. În matricea Conștientizare-Atitudine obiectul de studiu îl reprezintă personalul, precum și în matricea „Impactul salarizării asupra relațiilor de grup”. Un alt obiect de studiu este portofoliul companiei. Matricele Shell/DPM, BCG pot servi ca exemple în acest grup.
Această clasificare împarte matricele în două grupe în funcție de informațiile primite: fie cantitative, fie semantice. În acest grup, un exemplu de matrice formată datorită informațiilor sub formă de număr este matricea vectorului stării economice a organizației și formată datorită informațiilor logice - o matrice a principalelor forme de asociere.
Introducerea instrumentelor matriceale în analiza și planificarea întreprinderii.
În prima etapă, se propune efectuarea unei analize primare a întreprinderii. Au fost selectate trei matrice în acest scop. Matricea SWOT este descrisă pe larg în literatură. Matricea MCC presupune o analiză a conformității cu misiunea întreprinderii și a principalelor sale capacități. matricea vectoriala dezvoltare economicăîntreprindere este un tabel care prezintă datele numerice ale principalilor indicatori ai întreprinderii. Din această matrice, puteți trage informații pentru alte matrice, precum și puteți trage diverse concluzii pe baza acestor date deja în această etapă.
Al doilea pas în aplicarea metodelor matriciale este analiza pieței și a industriei. Acesta analizează piețele în care își desfășoară activitatea compania, precum și industria în ansamblu. Principalele din subgrupul „Piață” sunt matricea BCG, care examinează relația dintre ratele de creștere și cota de piață, și matricea GE, care analizează atractivitatea comparativă a pieței și competitivitatea în industrie și are două varietăți: Daya. varianta si varianta Monienson. Subgrupul „Industrie” conține matrici care studiază mediul industriei, modelele de dezvoltare a industriei. Principala din acest subgrup este matricea Shell/DPM, care examinează relația dintre atractivitatea industriei și competitivitatea.
Următorii pași în planificarea strategică sunt analiza diferențierii și analiza calității. Diferențierea și calitatea acționează în acest caz ca componente cu ajutorul cărora se poate obține rezultatul dorit. Există trei matrici în grupul „Diferențiere”. Matricea „Îmbunătățirea poziției competitive” vă permite să identificați vizual modelele și dependențele de diferențiere de acoperirea pieței. Matricea „Diferențiere - Eficiență relativă a costurilor” dezvăluie relația dintre eficiența relativă a costurilor pe o anumită piață și diferențiere. Matricea Performanță-Inovare/Diferențiere arată relația dintre performanța unei anumite unități de afaceri și adoptarea inovațiilor.
Obiectul de studiu al grupei „Analiza calității” este identificarea factorilor și tiparelor care afectează un aspect precum calitatea produselor. Un grup poate include două matrice. Matricea Strategii de prețuri poziționează produsele în funcție de calitate și preț. Matricea „Calitate – intensitatea resursei” determină raportul dintre calitatea produsului produs și resursele cheltuite pentru acesta.
Grupurile „Analiza managementului” și „Analiza strategiei de marketing” nu sunt incluse în implementarea pas cu pas a metodei matriceale în planificarea strategică. Aceste grupuri sunt izolate. Matricele care alcătuiesc aceste grupuri pot fi aplicate în toate etapele planificării strategice și abordează probleme de planificare funcțională. Grupul de analiză de control este format din două subgrupe. Primul subgrup – „Management” – are în vedere managementul companiei în ansamblu, procesele care afectează managementul, managementul companiei. Subgrupul „Personal” are în vedere procesele care au loc între colegi, influența diverșilor factori asupra performanței personalului.
În schema propusă de analiză și planificare strategică în fiecare grup, matricele interacționează între ele, dar nu se poate baza pe rezultatul sau concluzia unei singure matrice - este necesar să se țină cont de concluziile obținute din fiecare matrice din grup. . După analiza în prima grupă, se efectuează analiza în următoarea. Analiza în grupele „Management” și „Strategia de marketing” se realizează în toate etapele analizei în planificarea strategică.
Caracterizarea matricelor individuale
Analiza SWOT este unul dintre cele mai comune tipuri de analiză în managementul strategic de astăzi. SWOT: Forțe (Forțe); Puncte slabe (Weaknesses); Oportunități (Oportunități); Amenințări. Analiza SWOT vă permite să identificați, să structurați punctele forte și punctele slabe ale companiei, precum și potențialele oportunități și amenințări. Acest lucru se realizează prin compararea punctelor forte și slabe interne ale companiei lor cu oportunitățile pe care le oferă piața. Pe baza calității conformității se face o concluzie despre direcția în care ar trebui să se dezvolte afacerea și, în final, se determină distribuția resurselor pe segmente.
Scopul analizei SWOT este de a formula principalele direcții de dezvoltare a întreprinderii prin sistematizarea informațiilor disponibile despre punctele forte și punctele slabe ale companiei, precum și oportunitățile și amenințările potențiale.
Cel mai atractiv lucru la această metodă este că câmpul informațional este format direct de liderii înșiși, precum și de cei mai competenți angajați ai companiei, pe baza generalizării și coordonării propriei experiențe și viziuni asupra situației. O vedere generală a matricei analizei SWOT primare este prezentată în Fig.1.
Fig.1. Matricea SWOT strategică primară - analiză.
Pe baza unei analize consecvente a factorilor, se iau decizii pentru ajustarea scopurilor si strategiilor intreprinderii (corporative, de produs, de resurse, functionale, manageriale), care, la randul lor, determina puncte cheie organizarea activitatilor.
O analiză a portofoliului de afaceri al unei companii ar trebui să ajute managerii să evalueze domeniul de activitate al companiei. Compania ar trebui să se străduiască să investească în domenii mai profitabile ale activităților sale și să le reducă pe cele neprofitabile. Primul pas al managementului în analiza portofoliului de afaceri este identificarea domeniilor cheie de activitate care definesc misiunea companiei. Ele pot fi numite elemente strategice ale afacerii - SEB.
În următorul pas al analizei portofoliului de afaceri, conducerea trebuie să evalueze atractivitatea diferitelor SEB-uri și să decidă cât de mult sprijin merită fiecare dintre ele. În unele companii, acest lucru se întâmplă informal în timpul lucrului. Conducerea examinează totalitatea activităților și produselor companiei și, ghidat de bunul simț, decide cât ar trebui să aducă și să primească fiecare SEB. Alte companii folosesc metode formale pentru planificarea portofoliului.
Metodele formale pot fi numite mai precise și minuțioase. Printre cele mai cunoscute și de succes metode de analiză a portofoliului de afaceri folosind metode formale se numără următoarele:
- Metoda Boston Consulting Group (BCG);
- Metoda General Electric (GE).
Metoda BCG se bazează pe principiul analizei matricei de creștere/cotă de piață. Aceasta este o metodă de planificare a portofoliului care evaluează SEB-ul unei companii în ceea ce privește rata de creștere a pieței și cota relativă de piață a acelor articole. SEB-urile sunt împărțite în „stele”, „vaci de bani”, „cai întunecați” și „câini” (vezi Fig. 2).
| T e m P R R |
în s Cu despre la și al |
"Stea" | "Vaci de bani" |
| n și h la și al |
"Vaca de lapte" | "Câine" | |
| înalt | scăzut | ||
| Relativ acțiune la magazin | |||
Fig.2. Matricea BCG.
Axa verticală din Figura 2, rata de creștere a pieței, determină măsura atractivității pieței. Axa orizontală, cota relativă de piață, determină puterea poziției unei companii pe piață. Atunci când se împarte matricea de creștere/cotă de piață în sectoare, pot fi distinse patru tipuri de SEB.
„Stele”. Linii de afaceri în dezvoltare rapidă, produse cu o cotă mare de piață. De obicei, au nevoie de investiții mari pentru a-și susține creșterea. În timp, creșterea lor încetinește și se transformă în „vaci de bani”.
„Vaci de numerar”. Linii de afaceri sau produse cu rate scăzute de creștere și o cotă mare de piață. Aceste SEB durabile și de succes necesită mai puține investiții pentru a-și menține cota de piață. În același timp, acestea aduc venituri mari, pe care compania le folosește pentru a-și plăti facturile și pentru a susține alte SEB-uri care necesită investiții.
„Caii întunecați” Elemente de afaceri cu o cotă mică de piețe cu creștere mare. Ei cer un numar mare fonduri chiar și pentru a-și menține cota de piață, ca să nu mai vorbim de a o crește. Conducerea ar trebui să ia în considerare cu atenție care „cai întunecați” ar trebui transformați în „stele” și care ar trebui eliminate treptat.
„Câini”. Linii de afaceri și produse cu rată scăzută de creștere și cotă de piață mică. Ei pot genera venituri suficiente pentru a se întreține, dar nu promit să devină surse mai serioase de venit.
Fiecare SEB este plasat pe această matrice proporțional cu ponderea sa în venitul brut al companiei. După clasificarea SES, compania trebuie să determine rolul fiecărui element în viitor. Pentru fiecare SEB, se poate aplica una dintre cele patru strategii. O companie poate crește investițiile într-un element al afacerii pentru a câștiga cotă de piață pentru aceasta. Sau poate investi doar suficient pentru a menține cota SEB la nivelul actual. Acesta poate scurge resurse din SEB, retrăgându-și resursele monetare pe termen scurt într-o anumită perioadă de timp, indiferent de consecințele pe termen lung. În cele din urmă, poate dezinvesti în SEB vânzându-l sau intrând într-o eliminare treptată și folosirea resurselor în altă parte.
În timp, SEB își schimbă poziția în matricea de creștere/cotă de piață. Fiecare SEB are propriul său ciclu de viață. Multe SEB-uri încep ca „cai întunecați” și, în circumstanțe favorabile, trec în categoria „stelelor”. Mai târziu, pe măsură ce creșterea pieței încetinește, aceștia devin „vaci de bani” și în cele din urmă, la sfârșitul ciclului lor de viață, se estompează sau se transformă în „câini”. Companiile trebuie să introducă în mod continuu produse și activități noi, astfel încât unele dintre ele să devină „vedete” și apoi „vaci de bani” care ajută la finanțarea altor SEB-uri.
Metodele matriceale joacă un rol foarte important rol importantîn analiza strategică, planificare și marketing. Metoda matricei este foarte convenabilă - asta explică prevalența sa. Cu toate acestea, utilizarea numai a metodelor matriceale nu este suficientă, deoarece matricele vă permit să explorați planificarea strategică și marketingul din unghiuri separate și nu arată imaginea completă, dar în combinație cu alte metode, abordarea matriceală face posibilă vizualizarea vizuală. tiparele din procesele care au loc la întreprindere și să tragă concluzii corecte.
Tabelul 1. Instrumente matrice în analiza și planificarea activităților organizației
| № | Niveluri de rezolvare a problemelor | Matrice | Principalele caracteristici |
| 1 | Analiza primară | matricea SWOT | Analiza punctelor forte și slabe ale întreprinderii, oportunităților și amenințărilor |
| 2 | Matrix MCC | Analiza conformității cu misiunea întreprinderii și principalele sale capacități | |
| 3 | Matricea vectorului de dezvoltare economică a întreprinderii | Analiza datelor statistice | |
| 4 | Analiza pieței/industriei | Matricea BCG | Analiza ratelor de creștere și a cotei de piață |
| 5 | Matrix GE | Analiza comparativă a atractivității și competitivității pieței | |
| 6 | Matricea ADL | Analiza ciclului de viață al industriei și poziția relativă pe piață | |
| 7 | Matrix HoferSchendel | Analiza poziției între concurenții din industrie și stadiul de dezvoltare a pieței | |
| 8 | Matricea Ansoff („piață-produs”) |
Analiza strategiei in raport cu pietele si produse | |
| 9 | Matricea Porter (cinci forțe competitive) |
Analiza perspectivelor strategice de dezvoltare a afacerii | |
| 10 | Matricea de elasticitate a răspunsului competitiv pe piață | Analiza actiunii firmei asupra factorilor de competitivitate ai produsului, in functie de elasticitatea reactiei concurentului prioritar pentru produs | |
| 11 | Matricea grupării produselor | Analiza grupării de produse | |
| 12 | Matricea „Incertitudinea impactului” | Analiza nivelului de impact și a gradului de incertitudine la intrarea pe o nouă piață | |
| 13 | Industrie | matricea Cooper | Analiza atractivității industriei și a puterii afacerii |
| 14 | Matricea ShellDPM | Analiza atractivității unei industrii intensive în resurse în funcție de competitivitate | |
| 15 | Matricea strategiilor de recesiune | Analiza avantajelor competitive în mediul industrial | |
| 16 | Matricea formelor de unire de bază | Analiza asocierii într-un mediu industrial | |
| 17 | Analiza diferențierii | Matricea de îmbunătățire a poziției competitive | Analiza diferențierii și acoperirea pieței |
| 18 | Matricea „Diferențierea cost-eficiență relativă” | Analiza diferențierii și rentabilitatea relativă | |
| 19 | Matricea „Performanță – Inovație/Diferențiere” | Analiza inovației/diferențierii și performanței | |
| 20 | Analiza calitatii | Matricea „Preț-calitate” | Pozitionarea produsului in functie de calitate si pret |
| 21 | Matrice „Calitate-intensitatea resurselor” |
Analiza dependenței calității de intensitatea resurselor | |
| 22 | Analiza strategiei de marketing | Matricea strategiei de extindere a familiei de mărci | Analiza dependenței de avantaje distinctive și segmentarea pieței țintă |
| 23 | Matricea „Conștientizare - atitudine față de marca mărfurilor” | Analiza relației dintre marja profitului brut și răspunsul vânzărilor | |
| 24 | Matricea canalelor de marketing | Analiza relației dintre ritmul de dezvoltare a pieței și valoarea adăugată de canal | |
| 25 | Matricea „Contact – nivel de adaptare la serviciu” | Analiza dependenței nivelului de adaptare a serviciilor la cerințele clienților de gradul de contact cu clientul | |
| 26 | Matrice „Diagnostice de marketing” |
Analiza dependenței strategiei de implementarea strategiei | |
| 27 | Analiza managementului management |
Matricea metodelor de management strategic | Analiza dependenței strategiei și a impactului planificării |
| 28 | Matricea modelului de management strategic | Analiza dependenței modelului de management de tipul schimbărilor | |
| 29 | Matricea Hersey-Blanchard | Analiza modelului de leadership situațional | |
| 30 | Matricea combinațiilor de dimensiuni ale stilului de conducere al Universității Ohio | Analiza combinațiilor de dimensiuni ale stilului de conducere | |
| 31 | Matrice „Grilă de management” | Analiza tipului de leadership | |
| 32 | Personal | Matricea „Schimbarea – în organizație” | Analiza dependenței schimbărilor care apar în organizație și rezistența la aceste schimbări |
| 33 | Matricea influenței plății asupra relațiilor din grup | Analiza dependenței relațiilor din grup de diferențierea plății | |
| 34 | Matricea tipurilor de includere a unei persoane într-un grup | Analiza relației dintre atitudinea față de valorile organizației și atitudinea față de normele de comportament din organizație | |
| 35 | Matricea „Capacități cheie de afaceri” | Analiza pieței și a capacităților cheie ale afacerii | |
| 36 | Matricea „Importanța muncii” | Analiza dependenței performanței muncii de importanță | |
| 37 | Matricea sistemelor formale existente de criterii de performanță | Analiza sistemelor formale existente de criterii de performanță | |
| 38 | Matricea rezultatelor managementului performanței | Analiza rezultatelor managementului criteriilor de performanţă | |
| 39 | Matricea Blake-Mouton | Analiza dependenței prestației muncii de numărul de persoane și de numărul de sarcini | |
| 40 | Matricea McDonald | Analiza performanței |
Curs de prelegeri pe disciplina
"Analiza matricei"
pentru elevii din anul II
Specialitatea Facultatea de Matematică
„Cibernetică economică”
(profesor Dmitruk Maria Alexandrovna)
Capitolul 3. Funcţiile matriceale.
- Definirea funcției.
Df. Fie funcția un argument scalar. Este necesar să se definească ce se înțelege prin f(A), adică. trebuie să extindem funcția f(x) la valoarea matriceală a argumentului.
Soluția acestei probleme este cunoscută când f(x) este un polinom: , atunci.
Definiția lui f(A) în cazul general.
Fie m(x) polinomul minim A și are o astfel de descompunere canonică, valori proprii A. Fie polinoamele g(x) și h(x) să ia aceleași valori.
Fie g(A)=h(A) (1), atunci polinomul d(x)=g(x)-h(x) este polinomul anihilator pentru A, deoarece d(A)=0, deci d(x ) este divizibil cu un polinom liniar, i.e. d(x)=m(x)*q(x) (2).
Apoi, adică (3), .
Suntem de acord să numim m numere pentru f(x) astfel de valori ale funcției f(x) pe spectrul matricei A, iar setul acestor valori va fi notat.
Dacă mulțimea f(Sp A) este definită pentru f(x), atunci funcția este definită pe spectrul matricei A.
Din (3) rezultă că polinoamele h(x) și g(x) au aceleași valori pe spectrul matricei A.
Raționamentul nostru este reversibil, adică. din (3) (3) (1). Astfel, dacă este dată matricea A, atunci valoarea polinomului f(x) este complet determinată de valorile acestui polinom pe spectrul matricei A, adică. toate polinoamele gi(x) care iau aceleași valori pe spectrul matricei au aceleași valori matricei gi(A). Solicităm ca definiția valorii lui f(A) în cazul general să se supună aceluiași principiu.
Valorile funcției f(x) pe spectrul matricei A trebuie să determine complet f(A), adică. funcțiile care au aceleași valori pe spectru trebuie să aibă aceeași valoare matriceală f(A). Evident, pentru a determina f(A) în cazul general, este suficient să găsim un polinom g(x) care să ia aceleași valori pe spectrul A ca și funcția f(A)=g(A).
Df. Dacă f(x) este definit pe spectrul matricei A, atunci f(A)=g(A), unde g(A) este un polinom care ia aceleași valori pe spectru ca f(A),
Df. Valoarea funcției din matricea A numim valoarea polinomului din aceasta matrice la.
Dintre polinoamele din С[x], luând aceleași valori pe spectrul matricei A, ca f(x), de grad nu mai mare decât (m-1), luând aceleași valori pe spectrul A , întrucât f(x) este restul împărțirii oricărui polinom g(x) având aceleași valori pe spectrul matricei A ca f(x) cu polinomul minim m(x)=g(x) =m(x)*g(x)+r(x).
Acest polinom r(x) se numește polinomul de interpolare Lagrange-Sylvester pentru funcția f(x) pe spectrul matricei A.
Cometariu. Dacă polinomul minim m(x) al matricei A nu are rădăcini multiple, i.e. , apoi valoarea funcției pe spectru.
Exemplu:
Găsiți r(x) pentru f(x) arbitrar dacă matricea
. Să construim f(H1 ). Aflați polinomul minim H1 ultimul factor invariant:
, dn-1=x2 ; dn-1=1;
mX=fn(x)=dn(x)/dn-1(x)=xn 0 nrădăcină multiplă m(x), adică valori proprii de n ori H1 .
, r(0)=f(0), r(0)=f(0),…,r(n-1)(0)=f(n-1)(0) .
- Proprietăți ale funcțiilor din matrice.
Proprietatea #1. Dacă matricea are valori proprii (pot fi multipli între ele) și, atunci valorile proprii ale matricei f(A) sunt valorile proprii ale polinomului f(x): .
Dovada:
Fie polinomul caracteristic al matricei A să aibă forma:
Hai să numărăm. Să trecem de la egalitate la determinanți:
Să facem o schimbare în egalitate:
Egalitatea (*) este valabilă pentru orice mulțime f(x), așa că înlocuim polinomul f(x) cu, obținem:
În stânga, am obținut polinomul caracteristic pentru matricea f(A), descompus în dreapta în factori liniari, de unde rezultă că valorile proprii ale matricei f(A).
CHTD.
Proprietatea #2. Fie matricea și valorile proprii ale matricei A, f(x) o funcție arbitrară definită pe spectrul matricei A, atunci valorile proprii ale matricei f(A) sunt egale.
Dovada:
pentru că funcția f(x) este definită pe spectrul matricei A, atunci există un polinom de interpolare al matricei r(x) astfel încât, și apoi f(A)=r(A), și matricea r(A) ) are valori proprii conform proprietății nr. 1 care sunt, respectiv, egale.
CHTD.
Proprietatea #3 Dacă A și B sunt matrici similare, i.e. , iar f(x) este o funcție arbitrară definită pe spectrul matricei A, atunci
Dovada:
pentru că A și B sunt similare, atunci polinoamele lor caracteristice sunt aceleași și valorile lor proprii, deci valoarea lui f(x) pe spectrul matricei A coincide cu valoarea funcției f(x) pe spectrul matricei B și există un polinom de interpolare r(x) astfel încât f(A)=r(A), .
CHTD.
Proprietatea numarul 4. Dacă A este o matrice diagonală bloc, atunci
Consecinţă: Dacă, atunci, unde f(x) este o funcție definită pe spectrul matricei A.
- Polinomul de interpolare Lagrange-Sylvester.
Cazul numărul 1.
Să fie dat. Luați în considerare primul caz: polinomul caracteristic are exact n rădăcini, dintre care nu există multipli, adică. toate valorile proprii ale matricei A sunt diferite, adică , Sp A este simplu. În acest caz, construim polinoamele de bază lk(x):
Fie f(x) o funcție definită pe spectrul matricei A și fie valorile acestei funcții pe spectru. Trebuie să construim.
Să construim:
Să notăm că.
Exemplu: Construiți un polinom de interpolare Lagrange-Sylvester pentru o matrice.
Să construim polinoame de bază:
Atunci pentru funcția f(x) definită pe spectrul matricei A, obținem:
Hai sa luam, apoi polinomul de interpolare
Cazul numărul 2.
Polinomul caracteristic al matricei A are rădăcini multiple, dar polinomul minim al acestei matrice este un divizor al polinomului caracteristic și are doar rădăcini simple, adică. . În acest caz, polinomul de interpolare este construit în același mod ca în cazul precedent.
Cazul numărul 3.
Să luăm în considerare cazul general. Fie că polinomul minim are forma:
unde m1+m2+…+ms=m, grad r(x) Să compunem o funcție fracțională-rațională: și descompuneți-l în fracții simple. Să desemnăm: . Înmulțiți (*) cu și obțineți unde este o funcție care nu merge la infinit la. Dacă introducem (**), obținem: Pentru a găsi ak3 trebuie (**) să diferențiem de două ori și așa mai departe. Astfel, coeficientul aki este determinat în mod unic. După ce găsim toți coeficienții, revenim la (*), înmulțim cu m(x) și obținem polinomul de interpolare r(x), adică. Exemplu: Găsiți f(A) dacă, unde tun parametru,
Să verificăm dacă funcția este definită pe spectrul matricei A Înmulțiți (*) cu (x-3) la x=3 Înmulțiți (*) cu (x-5) În acest fel,este un polinom de interpolare. Exemplul 2 În cazul în care un, apoi dovedeste asta Să găsim polinomul minim al matricei A: este polinomul caracteristic. d2
(x)=1, apoi polinomul minim Considerăm f(x)=sin x pe spectrul matricei: funcția este definită pe spectru. Înmulțit cu
.
Înmulțit cu:
Calculați luând derivata (**): . Presupunând,
, adică.
Asa de,,
Exemplul 3 Fie definită f(x) pe spectrul unei matrice al cărei polinom minim are forma. Găsiți polinomul de interpolare r(x) pentru funcția f(x). Rezolvare: Prin condiția f(x) este definită pe spectrul matricei A f(1), f(1), f(2), f(2), f(2) definit. Folosim metoda coeficienților nedeterminați: Dacă f(x)=log x f(1)=0f(1)=1
f(2)=log 2f(2)=0.5
f(2)=-0.25
4. Matrici simple.
Fie matricea, deoarece C este un câmp închis algebric, atunci x Exercitiul 1 Calculați suma matricelor kA+mB dacă Elementele matricei sumei sunt determinate de formula: cij=kaij+mbij. Calculați elementele primului rând al matricei sumei: C11=-4*2+5*3=7 C12=-4 * (-1)+5 * 7=39 C13=-4*4+5*(-2)=-26 C21=-4*6+5*9=21 C22=-4*3+5*1=-7 C23=-4*0+5*6=30 С31=-4 * (-7)+5 * (-4)=8 C32=-4*5+5*8=20 C33=-4*9+5*5=-11 Astfel, matricea sumă va lua forma: Sarcina 2 Calculați matricea inversă și verificați. Folosim algoritmul pentru găsirea matricei inverse: A11=(-1) 2*3*3-0*(-5)=-9 A12=(-1) 3 * -4 * 3-1 * (-5)=7 A13=(-1) 4 * -4 * 0-1 * 3=-3 A21=(-1) 3*1*3-0*3=-3 A22=(-1) 4*-3*3-1*3=-12 A23=(-1) 5 * -3 * 0-1 * 1=1 A31=(-1) 4*1*(-5)-3*3=-14 A32=(-1) 5 * -3 * (-5)-(-4) * 3=-27 A33=(-1) 6 * -3 * 3-(-4) * 1=-5 Astfel, obținem matricea: 4. Transpuneți matricea rezultată: 5. Împărțim ultima matrice la determinantul matricei originale și obținem matricea inversă: 6. Verificăm rezultatul. Pentru a face acest lucru, găsim produsul matricei rezultate prin cea originală: A -1 .* A=A * A -1 =*= == Astfel, am obținut matricea identității ca rezultat. Prin urmare, a fost găsită matricea inversă, corect. Sarcina 3 Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer, Gauss. Soluţie: 1) Rezolvați sistemul prin metoda lui Cramer. Compunem matricea sistemului: Calculăm determinantul acestei matrice: 0 * (-8) * 4+3 * 2 * (-5)+7 * 2 * 9-9 * (-8) * (-5)-3 * 7 * 4-0 * 2 * 2=-348?0 Găsirea factorilor determinanți? 1
, ?2, ?3, obținute din determinantul inițial prin înlocuirea primei, a doua și, respectiv, a treia coloană cu o coloană de membri liberi: 1==2 * (-8) * 4+3 * 2 * (-3)+9 * 5 * 2-9 * (-8) * (-3)-3 * 5 * 4-2 * 2 * 2=-276 2==0 * 5 * 4+2 * 2 * (-5)+9 * 7 * (-3)-9 * 5 * (-5)-2 * 7 * 2-0 * 2 * (-3)=- 40 3==0 * (-8) * (-3)+3 * 5 * (-5)+2 * 7 * 2-2 * (-8) * (-5)-3 * 7 * (-3)-0 * 5 * 2=- 64 Acum folosind formulele lui Cramer x1=, x2=, x3= , găsiți soluția sistemului: X1==,=0,79 x2==,=0,11 x3===0,18 2) Rezolvăm sistemul folosind metoda Gauss. Compunem matricea extinsă a sistemului, care include coeficienți pentru variabile și termeni liberi: Înmulțiți al 2-lea rând cu (5). Înmulțiți al treilea rând cu (7). Să adăugăm a treia linie la a doua: Înmulțiți primul rând cu (26). Înmulțiți al 2-lea rând cu (3). Să adăugăm a doua linie la prima: Din prima linie exprimăm x 3 Din a doua linie exprimăm x 2 26x 2 \u003d - + 4 \u003d 0,11 Din a treia linie exprimăm x 1 5x 1 \u003d -2 * 0,11- - 3 \u003d 0,79 Sarcina 4 determinant de matrice liniar Cramer gauss Calculați determinantul de ordinul 4 Scriem extinderea determinantului în a patra linie: A \u003d\u003d 0 * A 41 +3 * A 42 +0 * A 43 +1 * A 44 unde Aij este complementul algebric al elementului ij a . Să găsim adunări algebrice după formula A ij =(-1) i+j , unde m ij este minorul elementului ij a, care se obține din determinantul inițial prin ștergerea rândului și coloanei la intersecția cărora aceasta suporturi de elemente. A 42 \u003d (-1) 4 + 2 * m 42 \u003d (-1) 6 * \u003d 4 * 7 * (-9) + 7 * (-7) * 0 + 1 * (-1) * 0 - 0 * 7 * 0 - 7 * 1 * (-9) - 4 * (-7) * (-1) = -217 A 44 \u003d (-1) 4 + 4 * m 44 \u003d (-1) 8 * \u003d 4 * (-3) * (-1) + 0 * 7 * 0 + 1 * 1 * 7-7 * (-3 ) * 0-0 * 1 * (-1)-4 * 7 * 1=-9 Înlocuim valorile obținute în expansiunea determinantului: 3 * A 42 + A 44 \u003d 3 * (-217) + (-9) \u003d -660 Sarcina 5 matricea determinantă inversă liniară Cramer gauss În mod independent, prin analogie cu exemplul, creați o problemă cu conținut economic, construiți un model matematic al procesului economic și rezolvați problema. O sarcină. Costurile a trei tipuri de materii prime A, B, C pentru producerea unei unități din fiecare dintre cele trei tipuri de produse I, II, III și rezervele fiecărui tip de materie primă sunt date în tabel (Tabelul 1) : tabelul 1 Produse Tipul materiei prime Stocuri de materii prime Este necesar să se stabilească un plan de producție care să asigure utilizarea tuturor materiilor prime. Să scriem un sistem de ecuații liniare folosind datele din tabel: unde - volumul de ieșire al fiecărui tip. Pentru a rezolva, folosim metoda Gauss. Să scriem matricea augmentată a sistemului: Scriem sistemul sub forma unei matrice extinse: Înmulțiți al 2-lea rând cu (-2). Să adăugăm a doua linie la prima: Înmulțiți al 2-lea rând cu (3). Înmulțiți al treilea rând cu (-1). Să adăugăm a treia linie la a doua: Înmulțiți primul rând cu (2). Să adăugăm a doua linie la prima: Acum sistemul original poate fi scris ca: x2 = /2 x 1 = /3 Din prima linie exprimăm x 3 Din a doua linie exprimăm x 2 Din a treia linie exprimăm x 1
