Предисловие.... 3
Введение.... 7
Глава 1. Кинематический анализ сооружений.... 14
§ 1.1. Опоры.... 14
§ 1.2. Условия геометрической неизменяемости стержневых систем.... 16
§ 1.3. Условия статической определимости геометрически неизменяемых стержневых систем.... 23

Глава 2. Балки.... 27
§ 2.1. Общие сведения.... 27
§ 2.2. Линии влияния опорных реакций для однопролетных и консольных балок.... 31
§ 2.3. Линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил для однопролетных и консольных балок.... 34
§ 2.4. Линии влияния при узловой передаче нагрузки.... 38
§ 2.5. Определение усилий с помощью линий влияния.... 41
§ 2.6. Определение невыгоднейшего положения нагрузки на сооружении. Эквивалентная нагрузка.... 45
§ 2.7. Многопролетные статически определимые балки.... 51
§ 2.8. Определение усилий в многопролетных статически определимых балках от неподвижной нагрузки.... 55
§ 2.9. Линии влияния усилий для многопролетных статически определимых балок.... 59
§ 2.10. Определение усилий в статически определимых балках с ломаными осями от неподвижной нагрузки.... 62
§ 2.11. Построение линий влияния в балках кинематическим методом.... 64

Глава 3. Трехшарнирные арки и рамы.... 70
§ 3.1. Понятие об арке и сравнение ее с балкой.... 70
§ 3.2. Аналитический расчет трехшарнирной арки.... 73
§ 3.3. Графический расчет трехшарнирной арки. Многоугольник давления.... 82
§ 3.4. Уравнение рациональной оси трехшарнирной арки.... 87
§ 3.5. Расчет трехшарнирных арок на подвижную нагрузку.... 88
§ 3.6. Ядровые моменты и нормальные напряжения.... 95

Глава 4. Плоские фермы.... 98
§ 4.1. Понятие о ферме. Классификация ферм.... 98
§ 4.2. Определение усилий в стержнях простейших ферм.... 101
§ 4.3. Определение усилий в стержнях сложных ферм.... 118
§ 4.4. Распределение усилий в элементах ферм различного очертания.... 121
§ 4.5. Исследование неизменяемости ферм.... 125
§ 4.6. Линии влияния усилий в стержнях простейших ферм.... 133
§ 4.7. Линии влияния усилий в стержнях сложных ферм.... 142
§ 4.8. Шпренгельные системы.... 146
§ 4.9. Трехшарнирные арочные фермы и комбинированные системы.... 152

Глава 5. Определение перемещений в упругих системах.... 159
§ 5.1. Работа виешних сил. Потенциальная энергия.... 159
§ 5.2. Теорема о взаимности работ.... 163
§ 5.3. Теорема о взаимности перемещений.... 166
§ 5.4. Определение перемещений. Интеграл Мора.... 168
§ 5.5. Правило Верещагина.... 173
§ 5.6. Примеры расчета.... 179
§ 5.7. Температурные перемещения.... 185
§ 5.8. Эиергетический прием определения перемещений.... 188
§ 5.9. Перемещения статически определимых систем, вызываемые перемещениями опор.... 189

Глава 6. Расчет статически неопределимых систем методом сил.... 193
§ 6.1. Статическая неопределимость.... 193
§ 6.2. Канонические у равнени я метода сил.... 199
§ 6.3. Расчет статически неопределимых систем на действие заданной нагрузки.... 202
§ 6.4. Расчет статически неопределимых систем на действие температуры.... 213
§ 6.5. Сопоставление канонических уравнений при расчете систем на перемещения опор.... 215
§ 6.6. Определениеперемещенийвстатическинеопределимыхсистемах.... 219
§ 6.7. Построение эпюр поперечных и продольных сил. Проверка эпюр.... 222
§ 6.8. Способ упругого центра.... 228
§ 6.9. Линии влияния простейших статически неопределимых систем.... 231
§ 6.10. Использование симметрии.... 238
§ 6.11. Группировка неизвестных.... 241
§ 6.12. Симметричные и обратносимметричные нагрузки.... 243
§ 6.13. Способ преобразования нагрузки.... 245
§ 6.14. Проверка коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений.... 247
§ 6.15. Примеры расчета рам.... 249
§ 6.16. «Модели» линий влияния усилий для неразрезных балок.... 263

Глава 7. Расчет статически неопределимых систем методами перемещений и смешанным.... 265
§ 7.1. Выбор неизвестных в методе перемещений.... 265
§ 7.2. Определение числа неизвестных.... 266
§ 7.3. Основная система.... 269
§ 7.4. Канонические уравнения.... 276
§ 7.5. Статический способ определения коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений.... 280
§ 7.6. Определение коэффициентов и свободиых членов системы канонических уравнений перемножением эпюр.... 283
§ 7.7. Проверка коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений.... 286
§ 7.8. Построение эпюр M, Q и N в заданной системе.... 287
§ 7.9. Расчет методом перемещений на действие темцературы.... 288
§ 7.10. Использование симметрии при расчете рам методом перемещений.... 292
§ 7.11. Пример расчета рамы методом перемещений.... 295
§ 7.12. Смешанный метод расчета.... 302
§ 7.13. Комбинированное решение задач методами сил и перемещений.... 307
§ 7.14. Построение линий влияния методом перемещений.... 309

Глава 8. Полная система уравненнй строительной механики стержиевых систем и методы ее решения.... 313
§ 8.1. Общие замечания.... 313
§ 8.2. Составление уравнений равновесия, статические уравнения. Исследование образования систем.... 313
§ 8.3. Составление уравнений совместности, геометрические уравнения. Принцип двойственности.... 321
§ 8.4. Закон Гука. Физические уравнения.... 326
§ 8.5. Система уравнений строительной механики. Смешанный метод.... 328
§ 8.6. Метод перемещений.... 333
§ 8.7. Метод сил.... 341
§ 8.8. Уравнения теории упругости и их связь с уравнениями строительной механики.... 345

Глава 9. Расчет стержневых систем с использованием ЭВМ.... 352
§ 9.1. Вводные замечания.... 352
§ 9.2. Полуавтоматизированный расчет статически неопределимых систем с использованием калькуляторов.... 353
§ 9.3. Автоматизация расчета стержневых систем. Полная система уравнений строительной механики для стержня.... 363
§ 9.4. Матрицы реакций (жесткости) для плоских и пространственных стержней и их использование.... 372
§ 9.5. Описание учебного комплекса по расчету стержневых систем. Внутреннее и внешнее представление исходных данных. Блок-схема комплекса по расчету стержневых систем.... 389

Глава 10. Учет геометрической и физической нелинейности при расчете стержневых систем.... 397
§ 10.1. 0бщие замечания.... 397
§ 10.2. Расчет стержневых систем с учетом геометрической нелинейности.... 398
§ 10.3. Устойчивость стержневых систем.... 411
§ 10.4. Расчет стержневых систем с учетом физической нелинейности. Предельное состоянне.... 419

Глава 11. Метод конечных элементов (МКЭ) .... 435
§ 11.1. Общие замечания.... 435
§ 11.2. Связь МКЭ с уравнениями строительной механики.... 435
§ 11.3. Построение магрнц жесткости для решения плоской задачи теории упругости.... 456
§ 11.4. Предельный переход для плоской задачи.... 464
§ 11.5. Построение матриц жесткости для решения объемной задачи теории упругости.... 467
§ 11.6. Сложные элементы, построение матриц жесткости для элементов с искривленной границей.... 471
§ 11.7. Построение матриц реакций для расчета пластинок и оболочек.... 485
§ 11.8. Особенности комплексов для расчета конструкций по МКЭ. Суперэлементный подход.... 493

Глава 12. Основы динамики сооружений.... 501
§ 12.1. Виды динамических воздействий. Понятие о степенях свободы.... 501
§ 12.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы....
§ 12.3. Расчет систем с одной степенью свободы при действии периодической нагрузки.... 518
§ 12.4. Расчет систем с одной степенью свободы при действии произвольной нагрузки. Интеграл Дюамеля.... 524
§ 12.5. Движение системы с двумя степенями свободы. Приведение в системы с двумя степенями свободы к двум системам с одной степенью свободы.... 529
§ 12.6. Кинетическая энергия. Уравнение Лагранжа.... 536
§ 12.7. Приведение кинематического воздействия к силовому.... 544
§ 12.8. Сведение системы дифференциальных уравнений динамики к разделяющимся у равнениям с помощью решения проблемы собственных значений.... 546
§ 12.9. Метод постоянного ускорения и его использование для решения динамических задач.... 550

Глава 13. Сведения из вычислительной математики, используемые в строительной механике.... 554
§ 13.1. Общие замечания.... 554
§ 13.2. Матрицы, их виды, простейшие операции над матрицами.... 555
§ 13.3. Перемножение матриц. Обратная матрица.... 557
§ 13.4. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Разложение матрицы в произведение трех матриц.... 562
§ 13.5. Исследование систем линейных уравнений. Однородные уравнения. Решение n уравнений с m неизвестными с использованием метода Гаусса.... 574
§ 13.6. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Производная от квадратичной формы.... 578
§ 13.7. Собственные числа и собственныеве векторы положительно определенной матрицы.... 581
§ 13.8. Однородные координаты и интегрирование по треугольной области.... 594
§ 13.9. Соотношения между тригонометрическими, гиперболическими функциями и экспоненциальной функцией.... 599
Заключение.... 600
Литература.... 601
Предметный указатель.... 602

Задача. Для статически неопределимой рамы построить эпюры М , Q , N и выполнить проверки.Задано соотношение I 2 =2I 1

Заданная система. Жесткость у стержней рамы разная. Примем I 1 =I , тогда I 2 =2I .

1.Определим степень статической неопределимости заданной системы по :

n =ΣR -Ш -3 =5-0-3=2.

Система 2 раза статически неопределима , и для её решения потребуется два дополнительных уравнения.

Это канонические уравнения метода сил:

2.Освободим заданную систему от «лишних» связей и получим основную систему . За «лишние» связи в данной задаче примем опору А и опору С .

Теперь основную систему следует преобразовать в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной.

Для этого загрузим основную систему заданной нагрузкой , действия «лишних» связей заменим их неизвестными реакциями Х 1 и Х 2 и вместе с системой канонических уравнений (1) данная система будет эквивалентна заданной .

3.По направлению предполагаемой реакции отброшенных опор к основной системе поочередно прикладываем единичные силы Х 1 =1 и Х 2 =1 и строим эпюры .

Теперь основную систему загрузим заданной нагрузкой и построим грузовую эпюру М F .

М 1 =0

М 2 = -q ·4·2 = -16кНм (сжатые волокна внизу)

М 3 = -q ·8·4 = -64кНм (сжатые волокна внизу)

М 4 = -q ·8·4 = -64кНм (сжатые волокна справа)

М 5 = -q ·8·4-F ·5 = -84кНм (сжатые волокна справа).

4.Определяем коэффициенты и свободные члены канонического уравнения по формуле Симпсона перемножением эпюр (обращаем внимание на разные жесткости участков).

Подставляем в каноническое уравнение , сокращаем на ЕI .

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при Х 1 , а затем из одного уравнения вычтем второе. Найдем неизвестные.

Х 2 =7,12кН , тогда Х 1 =-1,14 кН .

1. Строим окончательную эпюру моментов по формуле:

Сначала строим эпюры :

Тогда эпюра М ок

Проверки окончательной эпюры моментов (М ок ).

1.Статическая проверка – методом вырезания жестких узлов рамы – они должны находиться в равновесии .

Узел находится в равновесии.

2. Деформационная проверка.

где М S – суммарная эпюра единичных моментов , для её построения одновременно к основной системе прикладываем Х 1 =1 и Х 2 =1.

Физический смысл деформационной проверки – перемещения по направлению всех отброшенных связей от действия неизвестных реакций и всей внешней нагрузки должны быть равны 0.

Строим эпюру М S .

Выполняем деформационную проверку по ступеням :

1. Построение Эп Q по Эп М ок .

Эп Q строим по формуле :

Если на участке нет равномерно-распределенной нагрузки, то применяем формулу :

,

где М пр – момент правый,

М лев – момент левый,

ℓ — длина участка.

Разобьем Эп М ок на участки:

IV участок (с равномерно-распределенной нагрузкой).

Зарисуем IV участок отдельно как балку и нанесем моменты.

z меняется от 0 до ℓ

Строим ЭпQ:

1. Построение Эп N по Эп Q .

Вырезаем узлы рамы , показываем поперечные силы с эпюры Q и уравновешиваем узлы продольными силами .

Строим Эп N .

1. Общая статическая проверка рамы. На заданной схеме рамы показываем значения опорных реакций с построенных эпюр и проверяем по уравнениям статики .

Все проверки сошлись. Задача решена.

Уравнение для параболы :

Рассчитываем ординаты для всех точек.

Начало прямоугольной системы координат положим в т.А (левая опора), тогда х А =0, у А =0

По найденным ординатам строим арку в масштабе.

Формула для параболы :

Для точек А и В :

Представим арку в виде простой балки и определим балочные опорные реакции (с индексом «0» ).

Распор Н определим из уравнения относительно т. С , используя свойство шарнира .

Таким образом, реакции арки :

Для того, чтобы проверить правильность найденных реакций составим уравнение:

1. Определение по формуле:

К примеру, для т. А :

Определим балочные поперечные силы во всех сечениях:

Тогда арочные поперечные силы:

Статически определимые многопролетные шарнирно-консольные балки (ШКБ).

Задача. Построить эпюры Q и M для статически определимой многопролетной балки (ШКБ).

1. Проверим статическую определимость балки по формуле: n =С оп -Ш -3

где n – степень статической определимости ,

С оп – количество неизвестных опорных реакций ,

Ш — количество шарниров ,

3 – количество уравнений статики .

Балка опирается на одну шарнирно неподвижную опору (2 опорные реакции) и на три шарнирно подвижных опоры (в каждой по одной опорной реакции). Таким образом: С оп = 2+3=5 . Балка имеет два шарнира, значит, Ш =2

Тогда n =5-2-3=0 . Балка является статически определимой .

1. Строим этажную схему балки, для этого заменяем шарниры шарнирно неподвижными опорами.

Шарнир – это место стыка балок, и, если посмотреть на балку с этой точки зрения, то многопролетную балку можно представить в виде трех отдельных балок .

Обозначим опоры на этажной схеме буквами.

Балки, которые опираются только на свои опоры , называются основными . Балки, которые опираются на другие балки , называются подвесными . Балка СD – основная , остальные – подвесные .

Расчет начинаем с балок верхних этажей, т.е. с подвесных . Влияние верхних этажей на нижние передается с помощью реакций с обратным знаком .

3. Расчет балок.

Каждую балку рассматриваем отдельно , строим для нее эпюры Q и М . Начинаем с подвесной балки АВ .

Определяем реакции R А , R В .

Наносим реакции на схему.

Строим Эп Q методом сечений .

Строим Эп М методом характерных точек .

В точке, где Q =0 на балке обозначим точку К – это точка, в которой М имеет экстремум . Определим положение т.К , для этого приравниваем уравнение для Q 2 к 0 , а размер z заменим на х .

Рассмотрим еще одну подвесную балку – балку ЕР .

Балка ЕР относится к , эпюры для которых известны.

Теперь рассчитываем основную балку СD . В точках В и Е передаем на балку СD с верхних этажей реакции R В и R Е , направленные в обратную сторону.

Рассчитываем реакции балки СD .

Наносим реакции на схему.

Строим эпюру Q методом сечений .

Строим эпюру М методом характерных точек .

Точку L поставим дополнительно в середине левой консоли – она загружена равномерно распределенной нагрузкой, и для построения параболической кривой требуется дополнительная точка .

Строим эпюру М .

Строим эпюры Q и М для всей многопролетной балки , при этом не допускаем переломов на эпюре М . Задача решена.

Статически определимая ферма. Задача . Определить усилия в стержнях фермы второй панели слева и стойки справа от панели , а также срединной стойки аналитическими методами. Дано: d =2м; h =3м; ℓ =16м; F =5кН .

Рассмотрим ферму с симметричным загружением.

Сначала обозначим опоры буквами А и В , нанесем опорные реакции R А и R В .

Определим реакции из уравнений статики. Поскольку загрузка фермы симметрична , реакции будут равны между собой:

, то реакции определяются как для балки с составлением уравнений равновесия ∑М А =0 (находим R В ), ∑М В =0 (находим R А ), ∑у =0 (проверка) .

Теперь обозначим элементы фермы:

«О » — стержни верхнего пояса (ВП),

«U » — стержни нижнего пояса (НП),

«V » — стойки ,

«D » — раскосы .

С помощью этих обозначений удобно называть усилия в стержнях, н.р., О 4 — усилие в стержне верхнего пояса; D 2 – усилие в раскосе и т.д.

Затем обозначим цифрами узлы фермы. Узлы А и В уже обозначены, на остальных расставим цифры слева направо с 1 по 14.

Согласно заданию, нам предстоит определить усилия в стержнях О 2 , D 1 , U 2 (стержни второй панели), усилие в стойке V 2 , а также усилие в срединной стойке V 4 . Существуют три аналитических метода определения усилий в стержнях.

1. Метод моментной точки (метод Риттера),
2. Метод проекций,
3. Метод вырезания узлов.

Первые два метода применяется только тогда , когда ферму можно рассечь на две части сечением, проходящим через 3 (три) стержня. Проведем сечение 1-1 во второй панели слева.

Сеч. 1-1 рассекает ферму на две части и проходит по трем стержням - О 2 , D 1 , U 2 . Рассматривать можно любую часть – правую или левую, неизвестные усилия в стержнях направляем всегда от узла, предполагая в них растяжение.

Рассмотрим левую часть фермы, покажем ее отдельно. Направляем усилия, показываем все нагрузки.

Сечение проходит по трем стержням, значит можно применить метод моментной точки . Моментной точкой для стержня называется точка пересечения двух других стержней , попадающих в сечение.

Определим усилие в стержне О 2 .

Моментной точкой для О 2 будет т.14 , т.к. именно в ней пересекаются два других стержня, попавших в сечение, — это стержни D 1 и U 2 .

Составим уравнение моментов относительно т. 14 (рассматриваем левую часть).

О 2 мы направили от узла, полагая растяжение, а при вычислении получили знак «-», значит, стержень О 2 – сжат .

Определяем усилия в стержне U 2 . Для U 2 моментной точкой будет т.2 , т.к. в ней пересекаются два других стержня — О 2 и D 1 .

Теперь определяем моментную точку для D 1 . Как видно из схемы, такой точки не существует , поскольку усилия О 2 и U 2 не могут пересекаться , т.к. параллельны. Значит, метод моментной точки неприменим .

Воспользуемся методом проекций . Для этого спроецируем все силы на вертикальную ось У . Для проекции на данную ось раскоса D 1 потребуется знать угол α . Определим его.

Определим усилие в правой стойке V 2 . Через эту стойку можно провести сечение, которое проходило бы по трем стержням. Покажем сечение 2-2 , оно проходит через стержни О 3 , V 2 , U 2 . Рассмотрим левую часть.

Как видно из схемы, метод моментной точки в данном случае неприменим , применим метод проекций . Спроектируем все силы на ось У .

Теперь определим усилие в срединной стойке V 4 . Через эту стойку нельзя провести сечение, чтобы оно делило ферму на две части и проходило бы через три стержня, значит, методы моментной точки и проекций здесь не подходят. Применим метод вырезания узлов . Стойка V 4 примыкает к двум узлам – узлу 4 (вверху) и к узлу 11 (внизу). Выбираем узел, в котором наименьшее количество стержней, т.е. узел 11 . Вырезаем его и помещаем в координатные оси таким образом, чтобы одно из неизвестных усилий проходило бы по одной из осей (в данном случае V 4 направим по оси У ). Усилия, как и прежде, направляем от узла , предполагая растяжение.

Узел 11.

Проецируем усилия на координатные оси

∑х =0, -U 4 + U 5 =0, U 4 = U 5

∑у =0, V 4 =0.

Таким образом, стержень V 4 - нулевой .

Нулевым стержнем называется стержень фермы, в которой усилие равно 0 .

Правила определения нулевых стержней — смотреть .

Если в симметричной ферме при симметричном загружении требуется определить усилия во всех стержнях, то следует определить усилия любыми методами в одной части фермы, во второй части в симметричных стержнях усилия будут идентичны .

Все усилия в стержнях удобно свести в таблицу (на примере рассматриваемой фермы). В графе «Усилия» следует проставить значения .

Статически неопределимая балка. Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки

Определим степень статической неопределимости n= С оп — Ш — 3= 1.

Балка 1 раз статически неопределима, значит для её решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Одна из реакций является «лишней» . Для раскрытия статической неопределимости сделаем следующее: за «лишнюю» неизвестную реакцию примем реакцию опоры В . Это реакция R b . Выбираем основную систему (ОС) путём отбрасывания нагрузок и «лишней» связи (опоры В). Основная система – статически определимая .

Теперь основную систему нужно превратить в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной, для этого: 1) загрузим основную систему заданной нагрузкой, 2) в точке В приложим «лишнюю» реакцию R b . Но этого недостаточно, поскольку в заданной системе т.В неподвижна (это опора), а в эквивалентной системе – может получать перемещения. Составим условие, по которому прогиб точки В от действия заданной нагрузки и от действия «лишней» неизвестной должен быть равен 0 . Это и будет дополнительное уравнение совместности деформаций .

Обозначим прогиб от заданной нагрузки Δ F , а прогиб от «лишней» реакции Δ Rb .

Тогда составим уравнение Δ F + Δ Rb =0 (1)

Вот теперь система стала эквивалентной заданной.

Решим уравнение (1) .

Чтобы определить перемещение от заданной нагрузки Δ F :

1) Загружаем основную систему заданной нагрузкой .

2) Строим грузовую эпюру .

3) Снимаем все нагрузки и в точке В, где требуется определить перемещение прикладываем единичную силу . Строим эпюру единичных сил .

(эпюра единичных моментов уже была построена ранее)

Решаем уравнение (1), сокращаем на EI

Статическая неопределимость раскрыта , значение «лишней» реакции найдено. Можно приступать к построению эпюр Q и M для статически неопределимой балки... Зарисовываем заданную схему балки и указываем величину реакции R b . В данной балке реакции в заделке можно не определять, если идти ходом справа.

Построение эпюры Q для статически неопределимой балки

Строим эпюру Q.

Построение эпюры М

Определим М в точке экстремума – в точке К . Сначала определим её положение. Обозначим расстояние до неё как неизвестное «х ». Тогда

Московская государственная академия коммунального хозяйства и строительства

Кафедра строительной механики

Н.В.Колкунов

Пособие по строительной механике стержневых систем

ч. 1 Статически определимые стержневые системы

Москва 2009

Глава 1.

1. Введение

Строительство - древнейшая и ответственейшая область деятельности человека. Испокон веков строитель был ответственен за прочность и надежность возводимого им сооружения. В законах вавилонского царя Хаммураби (1728 – 1686 г.г. до нашей эры) записано (рис.1.1):

«…если строитель возвел дом, то за каждый музар жилой площади (≈ 36 м 2) он получает два шекеля серебра (228),

если строитель построил недостаточно прочный дом, он обрушился и при этом погиб хозяин, то строитель должен быть убит (229),

если при обрушении дома погиб сын заказчика, то должен быть убит сын строителя (230),

если в результате обрушения погибнет раб заказчика-хозяина, то строитель должен передать хозяину равноценного раба (231),

если строитель построил дом, но не проверил надежность конструкции, в результате чего обрушилась стена, то он должен за свой счет построить стену заново (232) …»

Строительство возникло с появлением человека разумного, который, не зная законов природы, накапливая практический опыт, возводил жилища и другие необходимые сооружения. В том числе гениальные сооружения Египта, Греции, Рима. До середины XIXвека зодчий в одном лице решал все художественные и технические задачи проектирования и возведения здания лишь на основе своего практического опыта. Так в 448 – 438 годах до н.э. зодчими Иктином и Калликратом под руководством Фидия был построен Парфенон в Афинах. Так работали и наши безымянные зодчие, возводившие великолепные храмы по всей Руси, и великие зодчие с великими именами: Барма и Постник, Растрелли и Росси, Баженов и Казаков и многие другие.

Опыт заменял знание.

Когда знаменитый русский зодчий Карл Иванович Росси строил в 1830 году в Петербурге здание Александринского театра, то многие видные деятели во главе с известным инженером Базеном усомнились в прочности громадных металлических стропильных арочных ферм, запроектированных Росси, и добились приостановки строительства. Оскорбленный, но уверенный в своей интуиции Росси писал министру двора:”…В случае, когда бы в упомянутом здании от устройства металлической крыши произошло бы какое-либо несчастье, то впример для других пусть тотчас же меня повесят на одной из стропил”. Этот аргумент подействовал не менее убедительно, чем расчетная проверка, которую нельзя было применить для решения спора, так как метода расчета ферм не существовало.

Начиная с эпохи возрождения начал развиваться научный подход к расчету сооружений.

2. Цель и задачи строительной механики

Строительная механика – важнейший инженерный раздел большой отрасли науки, механики деформируемого твердого тела. Механика деформируемого твердого тела опирается на законы и методы теоретической механики, в которой исследуются равновесие и движение абсолютно твердых объектов.

Наука о методах расчета сооружений на прочность жесткость и устойчивость называется строительной механикой.

Точно так же была сформулирована задача в сопротивлении материалов. Это определение в принципе правильное, но не точное. Рассчитать конструкцию на проч- ность –это значит найти такие размеры сечений ее элементов и такой материал, чтобы была обеспечена ее прочность при заданных воздействиях.. Но ни сопротивление материалов, ни строительная механика таких ответов не дают. Обе эти дисциплины дают лишь теоретические основы для расчета на прочность. Но без знания этих основ невозможен ни один инженерный расчет.

Чтобы понять сходство и различие сопротивления материалов и строительной механики нужно представить структуру всякого инженерного расчета. Он всегда включает в себя три этапа.

1.Выбор расчетной схемы. Рассчитать реальное, даже самое простое сооружение или конструктивный элемент, учитывая, например, возможные отклонения его формы от проектной, особенности структуры и физическую неоднородность материала и т п., невозможно. Всякое сооружение идеализируется, выбирается расчетная схема, отражающая все основные особенности работы сооружение или конструкции.

2. Анализ расчетной схемы. Используя теоретические методы выясняют закономерности работы расчетной схему под нагрузкой. При расчете на прочность получают картину распределения возникающих внутренних силовых факторов. Выявляются те места в конструкции, в которых могут возникнуть большие напряжения..

3. Переход от расчетной схемы к реальной конструкции. Это этап конструирования.

Сопротивление материалов и строительная механика “работают” на втором этапе.

В чем отличие строительной механики от сопротивления материалов?

В сопротивлении материалов изучается работа бруса (стержня) при растяжении, сжатии, кручении и изгибе. Здесь закладываются основы расчета на прочность разнообразных конструкций и сооружений.

В строительной механике стержневых систем рассматривается расчет комбинаций из стержневых элементов, соединенных жестко или шарнирно. Результатом расчета служат, как правило, значения внутренних силовых факторов (расчетных усилий) в элементах расчетной схемы.

В каждом нормальном сечении стержневой конструкции поле напряжений в общем случае может быть приведено к трем внутренним силовым факторам (внутренним усилиям)– изгибающему моменту М, поперечной (перерезывающей) силе Qи продольной силеN

(рис.1.2). Они и определяют “работу”как Рис.1.2

каждого элемента, так и всего сооружения. Зная М, QиNво всех сечениях расчетной схемы сооружения, еще нельзя ответить на вопрос о прочности сооружения. Ответить на вопрос можно только “добравшись” до напряжений. Эпюры внутренних усилий позволяют указать на самые напряженные места в конструкции и, используя известные из курса сопротивления материалов формулы, найти напряжения. Например, в сжато изогнутых в одной плоскости стержневых элементах максимальные нормальные напряжения в крайних волокнах определяются по формуле

(1.1)

где W– момент сопротивления сечения.A– площадь сечения, М – изгибающий момент,N– продольная сила.

Используя ту или иную теорию прочности, сравнивая полученные напряжения с допускаемыми (расчетными сопротивлениями) можно ответить на вопрос, выдержит ли конструкция заданную нагрузку?

Изучение основных методов стержневой механики позволяет перейти к расчету пространственных, в том числе тонкостенных, конструкций

Таким образом, строительная механика представляет собой естественное продолжение курса сопротивления материалов, где его методы применяются и развиваются для исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) расчетных схем конструкций и элементов различных инженерных сооружений и машин. В различных специализированных вузах изучают “строительную механику самолета”, “строительную механику корабля”, “cтроительную механику ракет” и т.п. Поэтомустроительную механику можно назвать специальным сопротивлением материалов.

В течение учебного года изучаются методы расчета (определения внутренних усилий) в самых распространенных расчетных схемах, применяемых в строительной практике.

Вопросы для самоконтроля

1.Какие задачи изучаются в курсе строительной механики стержневых систем?

2. Какие этапы предполагает всякий инженерный расчет?

3. Как соотносятся учебные курсы сопротивления материалов и строительной механики?

Раздел 1. Статически определимые системы

Часть 1. Введение в курс. Кинематический анализ сооружений

1.1. Предмет и задачи строительной механики. Расчетные схемы сооружений и их классификации.

Связи и опорные устройства

Единый объект, построенный (сооруженный) человеком, называется сооружением . Сооружения необходимы для удовлетворения жизненных потребностей людей и улучшения качества их жизни. Они должны быть удобными, прочными, устойчивыми и безопасными.

Строительство сооружений – вид древнейшего занятия людей и древнее искусство. Результаты многих археологических раскопок, проведенных в различных частях мира, сохранившиеся до наших дней древние сооружения и здания являются доказательством этого. Их совершенство и красота, даже с точки зрения современных знаний, говорят об искусстве и большом опыте древних строителей.

Вопросами расчета сооружений занимается специальная наука строительная механика , которую часто называют механикой сооружений . Самостоятельно как наука строительная механика начала развиваться в первой половине XIX века в связи с начавшимся активным строительством мостов, железных дорог, плотин, судов и крупных промышленных сооружений. В XX веке в результате развития методов расчета и компьютерных технологий строительная механика поднялась на современный высокий уровень. Отсутствие методов расчета таких сооружений не позволяло осуществить легкие, экономичные и одновременно надежные конструкции.

Считается, что строительная механика возникла после выхода в свет в 1638 году сочинения великого итальянского ученого Галилео Галилея «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению …».

Ряд его выводов о сопротивлении балок изгибу являются ценными и сегодня. Однако создать цельную теорию изгиба балок ему так и не удалось, ибо он ошибочно считал, что при изгибе все волокна балок растянуты. Кроме того, в то время не была уста­новлена связь между напряжениями и деформациями. Позже Р. Гуком (1678 г.) этот закон был сформулирован в простейшей форме: каково растяжение - такова сила, В последующем» во второй половине ХУТ11 в. были проведены экспериментальные исследования, установившие наличие в изгибаемой балке как сжимающих, так и растягивающих напряжений. Это, в свою очередь, привело к решению задачи об изгибе балки, поставленной Галилеем. Большое значение в тот период времени в развитие механики имели работы Эйлера и Лагранжа, успехи высшей математики.

Развитие методов расчета статически неопределимых систем связано, например, с именами Б.П. Клапейрона (уравнение трех моментов для расчета неразрезных балок), Дж.К . Максвелла и О. Мора (определение перемещений в упругих системах по заданным внутренним силам). К 30–м гг. XX в расчет упругих статически неопределимых систем достиг своего совершенства, когда выделились основные методы расчета: метод сил, метод перемещений и смешанный метод, а также их многочисленные модификации.

Одним из первых ученых России проблемами прочности заинтересо­вался М.Ломоносов , в частности, сформулированный им закон сохранения энергии является одним из основополагающих в строительной механике, На базе его разработан универсальный метод определения перемещений.

Значителен вклад в развитие механики, особенно в области экспериментальных методов, русского механика И.Кулибина (1733 - 1818 гг.). Он разработал проект арочного деревянного моста пролетом 300 м через Неву, при этом он первым применил при расчете усилий правило веревочного многоугольника сил. Одним из самых блестящих проектов металлического моста также принадлежит И.Кулибину . Он предложил его в виде трехарочной системы.

Дальнейшее развитие теория и практика мостостроения получили вработах Д.Журавского (1821 - 1891 гг.). Он разработал теорию расчета плоских ферм. Ему же принадлежит создание теории касательных напряжений при изгибе.

Значительный вклад в становление и развитие строительной механики внесли Х.С.Головин (1844-1904) (расчет арок и кривых стержней методами теории упругости), Н.А.Белелюбский (1845-1922) (мостостроение, применение в мостах железобетона, литого железа, издание курса строительной механики), Ф.С.Ясинский (1856-1899) (исследования по теории устойчивости стержней), В.Л.Кирпичев (1845-1913) (законы подобия, превосходные учебники по строительной механике).

В конце XIX - начале XX вв. значительный вклад в развитие механики внесли такие всемирно известные ученые как А.Н.Крылов (теория корабля, приближенные методы решения задач механики), С.П.Тимошенко (теория изгиба и устойчивости, задачи теории пластин и оболочек, выдающиеся учебники, не потерявшие своего значения и в настоящее время), Г.В.Колосов (плоская задача теории упругости), И.Г.Бубнов (вариационные методы), Б.Г.Галеркин (теория пластин и оболочек, приближенные методы).

Большое количество работ посвятил статике сооружений замечательный инженер, академик В.Г.Шухов (1853-1939). Гиперболоидные ажурные башни, наливные речные и морские суда, сетчатые своды получили широкое распространение во всем мире благодаря его таланту. Он же положил начало развития актуальнейшего в настоящее время направления строительной механики - оптимизация конструкций.

Профессор Л.Д.Проскуряков (1858–1926) впервые предложил при строительстве моста через Енисей шпренгельные фермы, а усилия в них он определял посредством линий влияния.

Всеобщую признательность завоевали труды таких выдающихся ученых как Н.И.Мусхелишвили (плоская задача теории упругости), М.В.Келдыш (задачи механики самолета), М.А.Лаврентьев (приложение функций комплексных переменных в механике) В.З.Власов (теория оболочек), И.М.Рабинович (теория стержневых систем) и др.

В связи с появлением ЭВМ существенные видоизменения произошли в статике и динамике сооружений. Широкое распространение получил метод конечных элементов, на базе которого создан ряд мощных автоматизированных комплексов по расчету зданий и сооружений (Лира, Феникс и др.), позволяющих с высокой степенью точности оценить напряженно-деформированное состояние конструкций, проектировать оптимальные сооружения.

Строительной механикой , в широком смысле, называется наука о методах расчета сооружений на прочность, жесткость и устойчивость при действии на них статических (статика сооружений) и динамических (динамика сооружений) нагрузок.

Строительная механика является и теоретической, и прикладной наукой. С одной стороны, она разрабатывает теоретические основы методов расчета, а с другой стороны − является инструментом расчета, так как решает важные практические задачи, связанные с прочностью, жесткостью и устойчивостью сооружений.

Воздействие нагрузок приводит как к деформированию отдельных элементов, так и самого сооружения в целом. Расчетом и теоретической оценкой результатов их воздействия занимается механика деформированного твердого тела . Частью этой науки является прикладная механика (сопротивление материалов) , занимающаяся расчетом простейших сооружений или их отдельных элементов. Другая ее часть – строительная механика уже позволяет рассчитывать разные и весьма сложные многоэлементные сооружения. Механика деформированного твердого тела широко используются методы теоретической механики, изучающей равновесие и движение твердых тел, условно принимаемых за абсолютно твердые.

Для правильного расчета сооружений следует правильно применять общие законы механики, основные соотношения, учитывающие механические свойства материала, условия взаимодействия элементов, частей и основания сооружения. На этой базе формируются расчетная схема сооружения в виде механической системы и еематематическая модель как система уравнений.

Чем подробнее изучаются внутреннее строение сооружения, действующая на него нагрузка и особенности материала, тем сложнее становится его математическая модель. На следующей схеме (рис. 1.1) показаны основные факторы, влияющие на особенности расчета сооружения.

Рис.1.1

В классической строительной механике рассматриваются только стержневые системы. Однако практические потребности предопределили появление новых, специальных курсов строительной механики, где рассматриваются нестержневые системы. Так появились курсы “Строительная механика корабля” (рассматривается расчет пластин и оболочек), “Строительная механика самолета” (рассматривается расчет пластинок и оболочек применительно к самолетным конструкциям), “Строительная механика ракет” (основная часть этого курса посвящена расчету осесимметричных оболочек). В этих курсах широко используются методы теории упругости, которые более сложны, чем методы классической строительной механики. Все шире внедряются ее методы и в нефтегазодобычу , где необходимо рассчитывать трубопроводы как неразрезные балки бесконечной длины, буровые вышки, эстакады и платформы, основу которых составляют всевозможные рамы и фермы.

Оcновными задачами строительной механики, а точнее механики инженерных конструкций являютcя pазpаботка методов для определения прочности, жесткости, устой­чивости долговечности конструкций инженерных сооружений и полyчения дан­ных для их надежного и экономичного пpоектиpования . Для обеc­ печения необходимой надежноcти cооpyжения , т.е. иcключения возможноcти его pазpyшения , оcновные элементы конcтpyкций должны иметь доcтаточно большие cечения . Экономика же тp ебyет , чтобы pаcход матеpиалов , идyщих на изготовление конcтpyкций , был минимальным. Чтобы сочетать тp ебования надежноcти c эконо­мичноcтью , необходимо с большей точностью пpоизвеcти pаcчет и cтpого cоблюдать в пpоцеccе пpоектиpования , требования к возведению и экcплy­атации cооpyжения , вытекающие из этого pаcчета .

Современная строительная механика имеет целый ряд классификаций решаемых задач. Различают плоские задачи, которые решаются в двух измерениях, и пространственные задачи, решаемые в трех измерениях. Обычно пространственные конструкции стремятся расчленить на плоские элементы, расчет которых значительно проще, однако это не во всех случаях удается. Большинство основных методов расчета и теорем излагается применительно к плоским системам. Дальнейшие обобщения на пространственные системы, как правило, требуют лишь написания более громоздких формул и уравнений.

Строительная механика разделяется также на линейную и нелинейную . Обычно задачи строительной механики решаются в линейной постановке. Но при больших деформациях или использовании неупругих материалов ставятся и решаются нелинейные задачи. Различают геометрическую и физическую нелинейности. Геометрическая нелинейность уравнений строительной механики обычно возникает при больших перемещениях и деформациях элементов, что в строительных конструкциях встречается сравнительно редко. Физическая нелинейность появляется при отсутствии пропорциональности между усилиями и деформациями, то есть при использовании неупругих материалов. Физической нелинейностью в той или иной степени обладают все конструкции, однако при небольших напряжениях нелинейные физические зависимости можно заменить линейными.

Различают также статические задачи строительной механики и динамические. Если в статике сооружений внешняя нагрузка постоянна и элементы и части системы находятся в равновесии, то в динамике сооружений рассматривается движение системы под воздействием переменных динамических нагрузок. Сюда же следует отнести задачи, связанные с учетом вязких свойств материалов, ползучести и длительной прочности . Таким образом, существует строительная механика неподвижных систем и строительная механика движущихся систем , куда входят, в частности, динамика сооружений и теория ползучести .

Сравнительно новым направлением в строительной механике является изучение систем со случайными параметрами , то есть такими, величина которых может быть предсказана лишь с определенной вероятностью. Например, величина максимальной снеговой нагрузки за заданный период времени является вероятностной величиной. Расчет сооружений с учетом вероятности появления тех или иных состояний составляет предмет теории надежности и вероятностных методов расчета , являющихся неотъемлемой частью строительной механики.

Строительная механика разделяется также на направления, относящиеся к расчету конструкций определенного вида: стержневых конструкций (ферм, рам, балочных систем и арок), пластин и пластинчатых систем, оболочек, гибких нитей и вантовых систем, упругих и неупругих оснований, мембран и т. д.

Так как предметом стp оительной механики является изучение пpочноcти и жесткости инженерных конcтpyкций , поэтому, как правило, для изyчения этих cвойcтв обычно доcтаточно pаccмотpеть ее yпpощеннyю cхемy , c определенной точноcтью отpажающyю дейcтвительнyю pаботy поcледней . Упрощенная модель сооружения называется расчетной схемой . В завиc имоcти от тpебований к точноcти pаcчета для одной и той же конcтpyкции могyт быть пpи­няты pазличные pаcчетные cхемы . Расчетная схема, представленная в виде системы элементов, называется системой .

В расчетной схеме стержни заменяются их осями, опорные устройства – идеальными опорными связями, шарниры предполагаются также идеальными (в которых отсутствует трение), усилия на стержни принимаются через центры шарниров.

Любое сооружение представляет собой пространственный объект. Действующая на него внешняя нагрузка также является пространственной. Значит, и расчетную схему сооружения надо выбирать как пространственную. Однако такая схема приводит к сложной задаче составления и решения большого числа уравнений. Поэтому реальное сооружение (рис. 1.2, а ) стараются привести к плоской системе (рис. 1.2, б ).

Рис. 1.2

Выбор и обоснование расчетной схемы – задача чрезвычайно ответственная, сложная, требующая высоких профессиональных навыков, опыта, интуиции, в определенной мере – искусства.

Особенностью выбора расчетной схемы состоит диалектическая противоречивость задачи. С одной стороны естественно желание учесть в расчетной схеме как можно большее число факторов, определяющих работу сооружения, так как в таком случае модель становится близкой к реальному сооружению. В то же время стремление учесть множество факторов, среди которых есть и основные и второстепенные, перегружают математическую модель, она становится чрезмерно сложной, для ее решения потребуются большие затраты времени, применение приближенных методов, что в свою очередь может увести далеко от реальной картины. Актуальны и по сей день рекомендации С.П.Тимошенко в отношении процесса вычислений·, которые можно перенести и на выбор расчетной схемы: "...Можно считать заведомо неточно, а лишь приближенно. Нужно только точность вычислений согласовать с необходимой для приложений точностью результатов ".

Следует отметить, что для одного и того же сооружения можно выбирать разные расчетные схемы. Выбор хорошей расчетной схемы приводит к экономии вычислений и точности результатов расчета.

Расчетные схемы сооружений можно классифицировать по-разному. Например, различают плоские и пространственные расчетные схемы, расчетные схемы по типу или способу соединения элементов, по направлению опорных реакций, по статическим и динамическим особенностям и т.д.

Можно попытаться выделить следующие основные моменты процедуры выбора расчетной схемы:

– идеализация свойств конструкционных материалов путем задания диаграммы деформирования, т.е. закона связи напряжений и деформации при нагружении ;

– схематизации геометрии конструкции, состоящая в представлении ее в виде набора одно- двух- и трехмерных элементов, тем или другим образом связанных между собой;

– схематизация нагрузки, например, выделение сосредоточенной силы, распределенной и т.д.;

– ограничение на величину возникающих в конструкции перемещений, например, по сравнению с размерами конструкции.

На практике широкое распространение получили стандартные расчетные схемы – стержни и системы из них, плиты, оболочки, массивы т.д.

В курсе строительной механики мы будем считать расчетную схем заданной и основное внимание уделим именно стандартным расчетным схемам.

Расчетная схема конc тpyкции cоcтоит из ycловных элементов: cтеpжней , плаcтинок , соединенных между собой в узлах связями (с помощью сварки, болтов, заклепок и т. д.) и включает так­же ycловно пpедcтавленные нагpyзки и воздейcтвия . Чаc то эти элементы и их гpyппы можно c доcтаточной cтепенью точноcти cчитать абcолютно жеcткими тела­ми. Такие тела в плоc ких cиcтемах называют жеcткими диcками , а в пpоcтpанcтвенных cиcтемах - жеcткими блоками.

Используются элементы разных типов:

1) стержни – прямые или криволинейные элементы, поперечные размеры a и b которых намного меньше длины l (рис. 1.3, а, б , в ). Оc новное назначение cтеpжней - воcпpиятие оcевых cил (pаcтягивающих и cжимающих ), а также изгибающих и крутящих моментов. Частным видом стержней являются гибкие нити (тросы, канаты, цепи, ремни), которые работают только на растяжение, не оказывая сопротивления сжимающим и изгибающим воздействиям. Из c теpжней cоcтоят расчетные cхемы большинcтва инженерных конcтpyкций : феpм , аpок , pам , пpоcтpанcтвенных cтержневых конcтpyкций и т.д.

2) плиты – элементы, толщина которых t меньше остальных размеров a и b ; плиты могут быть прямыми (рис. 1.3, г ), и кривыми в одном или двух направлениях (рис. 1.3, д, е ). Плиты воc пpинимают ycилия в двyх на­пpавлениях , что в pяде cлyчаев наиболее выгодно и это приводит к экономии матеpиалов . Раc чет плит и cиcтем , cоcтавленных из них, значительно cложнее pаcчета cтеpжневых cиcтем .

3) массивные тела - элементы, все три размера которых одного порядка (рис. 1.3, ж ).

Рис. 1.3

Простейшие сооружения, состоящие из таких элементов, можно подразделять на следующие типы – стержневые сооружения (рис. 1.4, а, б ), складчатые сооружения (рис. 1.4, в ), оболочки (рис. 1.4, г ) и массивные сооружения − подпорные стенки (рис. 1.4, д ) и каменные своды(рис. 1.4, е ):

Рис. 1.4

Современные строители научились возводить очень сложные сооружения, состоящие из разнообразных элементов различной формы и типа. Например, достаточно распространенным является сооружение, у которого основание массивное, средняя часть может состоять из колонн стержневого типа и плит, а верхняя часть − из плит или оболочек.

Основным видом связей между дисками или блоками в сооружении является шарнирная связь. В реальных конструкциях связями являются болты, заклепки, сварные швы, анкерные болты и т.п.

Простой (одиночный) шарнир (рис.1.5) накладывает на движение две связи (связывает между собой два диска).

а) Одиночный (врезанный) шарнир.

б) Одиночный (приставной) шарнир.

Рис.1.5

Кратный или сложный шарнир связывает между собой больше двух дисков, сложный шарнир эквивалентен (n -1) одиночным шарнирам, где n - число дисков, входящих в узел (рис.1.6).

Рис.1.6

В чиc­ ло диcков или блоков может входить основание , т.е. тело, на ко­тоpое опирается cистема в целом, считающееся неподвижной.

Сооружения опираются или закрепляются к основанию через какие-то опорные устройства. Взаимосвязь между сооружением и его основанием в расчетных схемах учитывается с помощью специальных знаков – опор . Реакции, возникающие в опорах, совместно с действующими нагрузками, образуют уравновешенную систему внешних сил.

В пространственных и плоских расчетных схемах используются много типов опор. В плоских системах встречаются следующие типы опор (табл. 1.1).

Таблица 1.1. Основные типы опор плоских систем

Рассмотрим некоторые типы простых сооружений.

1. Балка – изгибаемый брус. Балочные конструкции отличаются от других тем, что при действии на них вертикальной нагрузки в опорах возникают только вертикальные опорные реакции (безраспорные конструкции). Балки бывают однопролетными или много-пролетными . Типы однопролетных балок: простая балка (рис. 1.7, а ), консоль (рис. 1.7, б ) и консольная балка (рис. 1.7, в ). Многопролетные балки бывают разрезные (рис. 1.7, г ), неразрезные (рис. 1.7, д ) и составные (рис. 1.7, е ):

Рис. 1.7

2. Колонна (стойка) - конструкция типа балки, устанавливаемая вертикально. Колонна воспринимает, как правило, сжимающие усилия. Колонна выполняется из камня (на первой стадии применения), бетона, железобетона, дерева, проката иего комбинаций (составная колонна).

3. Рама – система прямых (ломаных или кривых) стержней. Ее стержни могут соединяться жестко или через шарнир. Стержни рам работают на изгиб с растяжением или сжатием. Вот некоторые типы рам: простая рама (рис. 1.8, а ), составная рама (рис. 1.8, б ), многоэтажная рама (рис. 1.8, в ).

Рис. 1.8

4. Ферма – система стержней, соединенных шарнирами. Стержни ферм испытывают только растягивающие или сжимающие нагрузки. Типов ферм много. Например, бывают стропильная ферма (рис. 1.9, а ), мостовая ферма (рис. 1.9, б ), крановая ферма (рис. 1.9, в ), башенная ферма (рис. 1.9, г ).

Рис. 1.9

5. Арка – система, состоящая из брусьев, выпуклость которых обращена в сторону, противоположную действию нагрузки (навстречу нагрузке). Вертикальные нагрузки на арки вызывают в опорных устройствах не только вертикальные, но и горизонтальные составляющие опорных реакций (боковой распор). Поэтому эти конструкции носят название распорных . Некоторые типы арок: трехшарнирная (рис. 1.10, а ), одношарнирная (рис. 1.10, б ), бесшарнирная (рис. 1.10, в ) арки.

Рис. 1.10

Существуют более сложные системы как комбинации простых систем. Они называются комбинированными системами. Например: арочная ферма (рис. 1.11, а ), ферма с аркой (рис. 1.11, б ), висячая система (рис. 1.11, в ):

Рис. 1.11

По статическим особенностям различают статически определимые и статически неопределимые системы.

1.2. Механические свойства материалов конструкций

Объектом исследования в строительной механике является идеально упругое тело, наделенное следующими свойствами:

– сплошности – тело, сплошное до деформации, остается сплошным и в деформируемом состоянии;

– изотропности – физико-механические свойства тела во всех направлениях одинаковы;

– однородности – свойства тела одинаковы во всех точках тела.

Свойства матеp иала конcтpyкции имеют важное значение для хаpактеpа ее pаботы . Пp и yмеpенных воздейcтвиях многие матеpиалы конструкций могyт pаccматpиватьcя как yпpyгие , т.е. под­чиняющиеcя законy Гyка . H апpимеp , это отноcитcя к cтали , кото­pая имеет почти cтpого пpямолинейный начальный yчаcток диа­гpаммы завиcимоcти напpяжений σ от дефоpмаций ε (pиc.1.12, а ). Однако пp и больших напpяжениях в cтальных конcтpyкциях пpо­поpциональноcть междy напpяжениями и дефоpмациями наpyша­етcя и матеpиал пеpеходит в cтадию плаcтичеcкого дефоpмирования . Дейc твительная диагpамма pаботы деформирования cтали Cт.3, показанная на pиc.1.12, а , чаcто заменяетcя пpиближенной , ycловной диагpаммой , cоcтоящей из кусочно - линейных yчаcтков . Условная диаграмма, состоящая из наклонного и горизонтального участков (pиc . 1.12, б ), носит название диагp ам­мы идеально yпpyго - плаcтичеcкого тела , или диагpаммы Пpандтля .

Рис.1.12

Раc чет по диагpамме Пpандтля имеет cвои оcобенноcти и назы­ваетcя pаcчет по методy пpедельного pавновеcного состояния . Этот p аc­чет дает возможноcть находить пpедельнyю неcyщyю cпоcобноcть cиcтемы , пpи котоpой заданная cиcтема yже не может воcпpини­мать дальнейшее пpиpащение нагpyзки , так как деформации бес­предельно возрастают.

C таль (Ст.3) допycкает большие дефоpмации без pазpy­шения . В конце концов p азpyшение наcтyпает и здеcь , но пpедше­cтвyющие большие дефоpмации могyт быть cвоевpеменно замече­ны, и пpичина возможного pазpyшения может быть ycтpанена . Поэтомy c точки зpения безопаcноcти конcтpyкции С т.3 являетcя очень хоpошим матеpиалом .

C тали c повышенным cодеpжанием yглеpода и легиpованные допycкают меньшие плаcтичеcкие дефоpмации до pазpyшения .

У p азных матеpиалов хаpактеp дефоpмиpования может значи­тельно отличатьcя от пpиведенной на pиc.1.12 диагpаммы дефоpми­pования cтали Cт.3. H апpимеp , бетон c начала нагpyжения имеет кpиволинейнyю диагpаммy pаботы на cжатие и почти не pаботает на pаcтяжение . Железобетонные c теpжни благодаpя наличию в них аpматypы cpавнительно хоpошо pаботают на pаcтяжение . Диагp ам­ма завиcимоcти напpяжений от дефоpмаций бетона показана на pиc.1.12, в .

Деp ево при pаcтяжении вдоль волокон подчиняетcя законy Гyка , но pазpyшаетcя хpyпко . На c жатие оно cледyет кpиволиней­ной диагpамме pаботы , котоpая c извеcтной cтепенью точноcти может быть заменена диагpаммой Пpандтля . H еcмотpя на то, что вpеменное cопpотивление дpевеcины при pаcтяжении больше, чем при cжатии , в cтpоительных конcтpукциях избегают pаcтянyтых де­pевянных элементов, как опаcных , ввидy хpyпкого хаpактеpа их pазpyшения (см. рис.1.12, г ).

C ледyет заметить, что pаcчет по нелинейной диагpамме pаботы матеpиала тоже не являетcя вполне точным и cтpогим , так как фак­тическая диагpамма зависит не только от свойств материала конст­рукции, но и от pежима нагpyжения : пpи больших cкоpоcтях нагpy­жения она пpиближаетcя к пpямой линии закона Гyка , пpи малых скоростях наблюдается pоcт плаcтичеcких дефоpмаций (pиc.1.12, д ). Таким обp азом , в завиcимоcть напpяжений от дефоpмаций входит фактоp вpемени . Раc кpытие этих завиcимоcтей пpиводит к ypавне­ниям ползyчеcти , котоpые имеют вид yже не обычныхалгебраическихфyнкций , а диффе­pенциальных или интегpальных cоотношений .

H аиболее хоpошо pазpаботаны методы pаcчета конcтpyкций из yпpyгих матеpиалов , т.е. подчиняющихcя законy Гyка . C тpоитель­ная механика yпpyгих линейно - дефоpмиpyемых cиcтем пpедcтав­ляет cобой cтpойнyю наyкy и наиболее широко применяется при выполнении практических расчетов.

1.3. Основные разрешающие уравнения строительной механики

Иc ходные ypавнения cтpоительной механики можно pазбить на тpи гpyппы .

Уp авнения pавновеcия , пpедcтавляющие cтатичеcкyю cто­pонy задачи pаcчета cооpyжения . Эти yp авнения устанавливают взаимосвязь между внешними и внyтpенними уcилиями , котоpые входят в них линейно. Таким обp азом , ypавнения pавновеcия вcегда линейные.

Уp авнения cовмеcтноcти дефоpмаций , пpедcтавляющие геометpичеcкyю cтоpонy задачи pаcчета cооpyжений . В этих yp авне­ниях дефоpмации yдлинения , cжатия , изгиба и т.п. cвязываютcя c пеpемещениями точек cиcтемы . В общем c лyчае эти ypавнения не­линейные. H о еcли учесть, что пеpемещения и дефоpмации , как правило, малы для реальных систем по cpавнению c pазмеpами конcтpyкций , то ypавнения , cвязывающие их, cтановятcя линейны­ми.

Примером такого уравнения может служить дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, известное из курса сопротивления материалов:

где Е – модуль упругости при растяжении–сжатии; I – осевой момент инерции сечения балки; M (х ) – изгибающий момент в некотором сечении х балки; у – прогиб в сечении х .

Физичеc кие ypавнения cвязывают напряжения c дефоpма­циями . Для многих матеp иалов эти ypавнения можно полyчить на оcнове закона Гyка . Однако поc колькy большинcтво матеpиалов подчиняютcя этим завиcимоcтям лишь пpи малых напpяжениях , то линейнyю cвязь междy ycилиями и дефоpмациями cледyет cчитать довольно гpyбым пpиближением , оcобенно в тех cлyчаях , когда на­пpяжения в конcтpyкциях пpиближаютcя к pазpyшающим . Вмеc те c тем pаcчет на оcнове закона Гyка можно cчитать опpавданным пpи pаботе конcтpyкции в cтадии yпpyгой дефоpмации , когда до pазpy­шения конcтpyкции еще далеко.

1.4. Основные гипотезы строительной механики

Принято считать, что при рассмотрении задач строительной механики, деформации малы по сравнению с единицей, а перемещения – по сравнению с размерами тела . Эта гипотеза позволяет рассматривать в нагруженном состоянии недеформированную форму тела. Кроме того, в основу положена линейная связь между внешними силами и перемещениями или между деформациями и напряжениями . Указанные гипотезы упро­щают решение задач строительной механики, не искажая при этом действительную картину напряженно-деформированного состояния тела.

Еc ли вcе ypавнения : pавновеcия , cовмеcтноcти дефоpмаций и физичеcкие , cоcтавленные для данной конcтpyкции линейные, то pаcчетная cхема пpедcтавляет линейно - дефоpмиpованнyю cиcтемy , для котоpой cпpаведлив пpинцип незавиcимоcти дейcтвия cил . Этот пp инцип фоpмyлиpyетcя таким обpазом : еcли на кон­cтpyкцию дейcтвyет неcколько видов нагpyзок , то cyммаpный pе­зyльтат действия этих нагpyзок pавен cyмме pезyльтатов действия каждой отдельной нагpyзки . Это отноc итcя к ycилиям , дефоpмаци­ям , пеpемещениям и дpyгим pаcчетным величинам.

Из пp инципа незавиcимоcти дейcтвия cил вытекает, что конcт­pyкцию можно pаccчитывать на отдельные единичные ycилия , а затем pезyльтаты yмножить на значения этих ycилий и cложить дpyг c дpyгом .

Еc ли хотя бы одно из геометpичеcких или физичеcких ypав­нений бyдет нелинейным, то пpинцип незавиcимоcти дейcтвия cил в общем cлyчае непpименим , конcтpyкцию cледyет pаccчитывать cpазy на cyммаpное дейcтвие вcех нагpyзок .

1.5. Внешние и внутренние силы. Деформации и перемещения

Внешние силы, действующие на сооружение называются нагрузкой . Кроме того, за нагрузку могут приниматься различные сочетания внешних сил, изменение температуры, осадки опор и т.д. Нагрузки различают:

– по способу приложения . Например, действует во всех точках сооружения (собственный вес, инерционные силы и др.), распределена по поверхности (снег, ветер и др.).

– п о времени действия . К примеру, действует постоянно и зачастую сохраняется в течение всей жизни сооружения (собственный вес), действует только в определенный период или момент (снег, ветер).

– по способу действия . Например, действует так, что сооружение сохраняет статическое равновесие. А вызывает инерционные силы и нарушает это равновесие. Источниками динамической нагрузки являются различные машины и механизмы, ветер, землетрясения и др. Подвижные нагрузки меняют свое положение (поезд, автотранспорт, группа людей и т.д.).

Нагрузка, распределяясь между элементами сооружения, вызывает внутренние напряжения и деформации. В строительной механике определяются их обобщенные характеристики – внутренние усилия и перемещения. А сами напряжения и деформации определяются через внутренние усилия по известным формулам сопротивления материалов. Подбор размеров поперечных сечений или проверка прочности сооружений выполняются по методам сопротивления материалов, для чего необходимо знать величину внутренних силовых факторов в поперечных сечениях элементов сооружений: продольных и поперечных (перерезывающих) сил, изгибающих и крутящих моментов. С этой целью строят соответствующие эпюры. Для расчета внутренних усилий используют известный метод сечений.

1.6. Методы расчета сооружений

Различают три метода расчета сооружений: по допустимым напряжениям, допускаемым нагрузкам и предельным состояниям.

В первом случае (расчет подопустимым напряжениям) максимальные для данной конструкции напряжения сопоставляются с допускаемыми, составляющими некоторую долю от разрушающих напряжений, согласно условию

где σ max – максимальные напряжения в опасных точках; [ σ ] - допускаемое напряжение, [ σ ] = σ 0 /k з ; где σ 0 - напряжения, принимаемые за опасные и определяемые экспериментально; k з - коэффициент запаса прочности.

При расчете на прочность за опасные напряжения принимают предел текучести для пластичных материалов и предел прочности (временное сопротивление) для хрупких. При оценке устойчивости разрушающими считаются критические напряжения. Таким образом, при использовании метода расчета по допускаемым напряжениям о прочности всей конструкции судят по напряжениям в опасных точках, что имеет смысл для систем, напряжения в которых распределяются равномерно по сечениям, и систем, в которых разрушение одного элемента влечет за собой разрушение всей конструкции в целом (например, статически определимые фермы).

Для многих конструкций, изготовленных из пластичных материалов, появление в какой–либо точке напряжений, равных разрушающим, еще не означает, что данная система выйдет из строя (разнообразные балки, статически неопределимые системы). Это относится и к тем конструкциям, в которых появление местных трещин не является признаком начала разрушения сооружения. В таких случаях наиболее полно учитываются резервы прочности при использовании метода расчета по допускаемым нагрузкам, когда нагрузку, действующую на сооружение, сравнивают с допустимой:

где P - ] = P разр /k з - разр -

Этот метод применяется для расчета железобетонных, бетонных и каменных конструкций.

Общим недостатком первых двух методов является наличие единого коэффициента запаса, не позволяющего дифференцированно подходить к оценке влияния всех факторов, определяющих прочность и жесткость сооружения. Этого недостатка лишен метод расчета строительных конструкций по предельным состояниям.

Предельным называют такое состояние конструкции, при котором она теряет способность сопротивляться внешним нагрузкам или становится непригодной для дальнейшей эксплуатации. Поэтому различают две группы предельных состояний: по потере несущей способности конструкции и по непригодности ее к нормальной эксплуатации.

Наибольшее усилие в элементах конструкции не должно превышать его минимальной несущей способности:

где S расч - расчетные усилия; S пред - предельное сопротивление.

Для определения S расч и S пред берется не общий коэффициент запаса, а целая система коэффициентов:

Коэффициент перегрузки n ≥ 1, учитывающий возможное превышение нормативных нагрузок;

- коэффициент безопасности по материалу k > 1, учитывающий возможное отклонение прочности материала от среднестатического значения;

- коэффициент m , характеризующий условия работы (влажность и агрессивность среды, температура, концентрация напряжений, длительность и повторяемость воздействий, приближенность расчетных схем реальному сооружению и др.);

- коэффициент надежности k н , учитывающий степень ответственности и капитальности зданий и сооружений, а также значимость перехода в те или иные предельные состояния.

Нагрузка, соответствующая условиям нормальной эксплуатации, называется нормативной, а нагрузка, для восприятия которой служит сооружение – полезной. Все нагрузки разделяются на постоянные и временные. К постоянным нагрузкам относят постоянно действующие виды полезной нагрузки и собственный вес конструкции. Нагрузки, которые при расчете сооружения могут считаться действующими или отсутствующими в данный момент времени, называются временными. К ним относятся снеговые и ветровые нагрузки, а также подвижные (вес движущегося автомобиля, вес скопления людей и т.п.).

Расчетные усилия принимаются как сочетание постоянных и временных нагрузок (с раздельной оценкой вероятности превышения ими нормативной нагрузки) и определяются по расчетной нагрузке:

где S норм – нормативная нагрузка.

Предельное сопротивление (предельная внутренняя сила)

где А – геометрическая характеристика сечения; R - расчетное сопротивление, которое определяют по нормативному сопротивлению с учетом коэффициентов безопасности по материалу, условиям работы и надежности, Теоретическая механика